Solare und terrestrische Strahlungswechselwirkung zwischen ... - AWI

(Gauss-Lobatto-Gewichte) der Winkel i. Die Streumatrizen A1 = !M ,1 P ++ C , M ,1
und A2 = !M ,1 P +, C kennzeichnen die Vorwärts- bzw. die Rückwärtsstreuung.
Die Lösung der Gleichung (2.10b) erfolgt über die Transmissions- und Reflexionsmatrizen
T bzw. R . Die Emissionsmatrix J folgt dann aus der Bedingung, daß die Summe von R ,
T und J die Einheitsmatrix ergibt. Aus der Energieerhaltung folgt für vertikal homogene
optische Medien
" ~I +
~I , 0
#
=
" T R
R T
#" ~I +
0
~I ,
#
+
" J
J
#
: (2.11)
Die Strahldichteverteilung der oberen Hemisphäre an der unteren Schichtgrenze ~ I + ergibt
sich aus der Summe von drei Termen. Erstens wird die Transmissionsmatrix T auf die
Strahldichteverteilung des oberen Halbraumes an der oberen Schichtgrenze ~ I + angewandt.
Zweitens wird die Reflexionsmatrix R mit der Strahldichteverteilung der unteren Hemisphäre
an der Stelle der unteren Schichtgrenze ~ I , multipliziert. Im dritten Term wird
die Emission J aufsummiert. Entsprechendes gilt für ~ I , . Die Spalten der Matrizen T , R
und J beschreiben die makroskopischen optischen Eigenschaften in Abhängigkeit vom
Einfallswinkel und die Zeilen jene in Abhängigkeit vom Streuwinkel für ein Medium der
optischen Dicke .
Die Lösung der Transmissionsmatrix T und Reflexionsmatrix R kann in Abhängigkeit
der Streumatrizen A1 und A2 angegeben werden [Liu und Ruprecht, 1996]:
T = 2 cosh(H ) , V sinh(H )+cosh(F ) , U sinh(F ) ,1
(2.12a)
R = 1
cosh(H )+Vsinh(H )+cosh(F )+Usinh(F )
2
T (2.12b)
J =[1,T ,R ]B(T)[1] (2.12c)
H 2 =(A1 ,A2) (A1 +A2) (2.13a)
F 2 =(A1 +A2) (A1 ,A2) (2.13b)
V =(A1 +A2) H ,1 (2.13c)
U =(A1 ,A2) F ,1
; (2.13d)
wobei [1] ein Vektor und 1 eine Matrix ist, deren Elemente Eins sind. Die Matrizen H 2 und
F 2 besitzen nur positive Eigenwerte, daher ist es möglich, die Wurzel zu ziehen. 2
Die Reflexionsmatrix R wird in dieser Schreibweise mit der Transmissionsmatrix T
errechnet. Für große optische Dicken geht die Transmissionsmatrix exponentiell gegen
p
2 Die Wurzel und der Hyperbolicus einer Matrix werden mit Hilfe der Taylorschen Reihe definiert:
M = 1 + 1
2
cosh(M)=1+M2 2! + M4 4!
(M , 1) , 1
2 4 (M , 1)2 , :::;
sinh(M)=M+M3 3! + M5 5!
+ :::;
+ :::.