Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

4 KAPITEL 1. EINLEITUNG
Information auf reale Daten angewendet werden kann, um Abhängigkeiten zwischen
den Windgeschwindigkeiten an verschiedenen Orten zu untersuchen.
Zu Beginn der Einleitung habe ich erwähnt, dass die Interdependenz benutzt
werden kann, um die Kopplungsrichtung in einem dynamischen System zu bestimmen.
In einem kurzen Exkurs möchte ich anhand von logistischen Abbildungen
zeigen, dass dieses Verfahren auch dann noch funktioniert, wenn die Parameter
des dynamischen Systems sowie die Kopplungsparameter einen langsamen Drift
aufweisen und nur eine Zeitreihe für die Untersuchung zur Verfügung steht.
Zum Abschluss dieser Arbeit widme ich mich dem Nachweis von Abhängigkeiten
und Kopplungen sowie der Identifizierung der Kopplungsrichtung zwischen
Punktprozessen. Hierbei handelt es sich um eine besondere Klasse von stochastischen
Prozessen, bei denen die Zeitpunkte, in denen jeweils ein Ereignis eintritt,
die zentrale Rolle spielen [Lewis (1972), Bauer (1991), Billingsley (1995),
Grün et al. (2002)]. Typische Beispiele für Punktprozesse sind radioaktiver Zerfall,
Elektrokardiogramme oder Membranpotentiale von spikenden Neuronen.
Dabei beschäftige ich mich mit der Frage, wie eine Abhängigkeit zwischen
Punktprozessen nachgewiesen und quantifiziert werden kann, wenn deren
Zuwächse, also die Anzahl der Ereignisse in einem Zeitfenster, betrachtet
werden. In diesem Zusammenhang gehe ich auch auf das Auszählen von Koinzidenzen
ein, welches ein weit verbreitetes Verfahren ist, um Korrelationen
zwischen Punktprozessen aufzuspüren [Grün et al. (1999), Riehle et al. (1997),
Schreiber & Schmitz (2000a)].
Unter bestimmten Voraussetzungen kann mit der Transferentropie die
Kopplungsrichtung zwischen Punktprozessen allein durch die Betrachtung der
Zuwächse bestimmt werden. Dies wird anhand von zwei gekoppelten Hindmarsch-
Rose-Oszillatoren gezeigt.
Die Zuwächse von Punktprozessen stellen Ereignisgruppen dar, welche von
der Fensterbreite bestimmt werden. Demzufolge werden die Prozesse in den bisher
erwähnten Verfahren bezüglich dieser Gruppen analysiert, es sei denn, die
Fensterbreiten werden so klein gewählt, dass alle Zuwächse höchstens ein Ereignis
enthalten. Oft leidet darunter aber die Signifikanz der Verfahren, insbesondere
bei relativ kurzen Zeitreihen. Als Alternative hierzu stelle ich daher eine neue
Methode vor, bei der der Nachweis von Abhängigkeit stets auf der Ebene von
einzelnen Ereignissen vonstatten geht. Zu diesem Zweck werden spezielle Zeitintervalle
zwischen den Ereignissen beider Punktprozesse definiert, welche mit der
gegenseitigen Information auf Abhängigkeit hin untersucht werden.