Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

78 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
wobei vorausgesetzt wird, dass dieser Grenzwert existiert. Dies ist für die meisten
physikalischen Systeme der Fall. Im Zusammenhang mit der Untersuchung von
Neuronen wird die Ereignisrate auch Spikedichtefunktion genannt.
Offensichtlich kann bei gegebener Ereignisrate m(t) die mittlere Anzahl der
Ereignisse im Intervall (s, t] mittels Integration berechnet werden,
M((s, t]) =
∫ t
s
m(t ′ ) dt ′ .
Ist N ein Punktprozess mit stationär verteilten Zuwächsen, so folgt unmittelbar
M((s, t]) = M((0, t − s]) , ∀0 ≤ s < t , (5.11)
das 1. Moment hängt demnach nur von der Zeitdifferenz t − s. Bildet man für
die 1. Momente M((t − τ, t]) = M((s − τ, s]) den Grenzübergang τ → 0 + , so
folgt aus Gl. (5.10) unmittelbar m(t) = m(s). Somit ist die Ereignisrate eines
Punktprozesses mit stationär verteilten Zuwächsen eine Konstante, m(t) = m 0
für alle t ≥ 0.
Zeitliche Korrelationen innerhalb eines Punktprozesses, also die Häufigkeiten,
mit denen ein Ereignis im Zeitintervall (s 1 , t 1 ], ein weiteres im Intervall (s 2 , t 2 ]
usw. vorkommt, können mit Momenten höherer Ordnung beschrieben werden. So
gibt
M((s 1 , t 1 ] × . . . × (s l , t l ]) = E [(N t1 − N s1 ) · . . . · (N tl − N sl )] (5.12)
die mittlere Anzahl der Ereignistupel (T k1 (ω), . . . , T kl (ω)) an, bei denen
T k1 (ω) in (s 1 , t 1 ] fällt, T k2 (ω) in (s 2 , t 2 ], . . . und T kl (ω) in (s l , t l ]
[Daley & Vere-Jones (1972)].
Die Rate m(t 1 , . . . , t l ), mit der diese Tupel pro Zeiteinheiten auftreten, ist
durch die Dichte dieser Momente gegeben, das heißt
M((s 1 , t 1 ] × . . . × (s l , t l ]) =
∫ t 1
s 1
· · ·
∫ t l
s l
m(t ′ 1 , . . . , t′ l ) dt′ 1 · · · dt′ l .
Auch hier gilt, dass für Punktprozesse mit stationär verteilten Zuwächsen die
Momente höherer Ordnung nur von den Intervallbreiten abhängen und dass deren
Dichten Konstante sind.
Beispiel: radioaktiver Zerfall. Der radioaktive Zerfall einen nichtstationären
Punktprozess dar. Die mittlere Anzahl der noch nicht zerfallenen,
instabilen Isotope ist durch N isotop (t) = N isotop (0) e −λ t gegeben, wobei λ die Zerfallskonstante
ist. Die Ereignisrate (Zerfallsrate) lautet m(t) = λ N isotop (t) =
N isotop (0) λ e −λ t . Hieraus folgt für die mittlere Anzahl von Zerfallsprozessen
E[N t ] = M((0, t]) = N isotop (0) (1 − e −λ t ).