Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.3. GEKOPPELTE PUNKTPROZESSE 79
Beispiel: Poisson-Prozess. Durch einfaches Integrieren mit der in Gl. (5.8)
gegebenen Verteilung folgt für das 1. Moment eines Poisonprozesses
M((s, t]) = E [N t − N s ] = α (t − s)
und somit, dass die Ereignisrate durch den Paramter α gegeben ist, m(0) = α.
Desweiteren ist M((s, t] × (s, t]) = E [(N t − N s ) 2 ] = α 2 (t − s) 2 + α (t − s). Somit
folgt für die Varianz der Zuwächse eines Poisson-Prozesses:
Var [N t − N s ] = E [ (N t − N s − E [N t − N s ]) 2] = α (t − s) .
Leider erweist sich das Schätzen der Ereignisrate aus Beobachtungen häufig
als sehr schwierig, insbesondere wenn nur eine Realisierung (Messreihe) vorliegt.
Denn der Grenzübergang in Gl. (5.10) würde zu einer Funktion führen, die nur die
Werte 0 und ∞ annimmt. Folglich ist man auf ein endliches Zeitfenster ∆ > 0 angewiesen,
um m(t) schätzen zu können, zum Beispiel mit m(t) ≈ (N t − N t−∆ )/∆.
Andererseits kann m(t) auch zeitabhängig sein, wie beim radioaktiven Zerfall.
Dementsprechend darf ∆ auch nicht zu groß angenommen werden, um noch eine
gute Approximation für m(t) zu erhalten. Aber ohne weiteres Wissen über den
vorliegenden Prozess ist es häufig nicht möglich, das Zeitfenster entsprechend zu
wählen. Somit bleibt in den meisten Fällen die Untersuchung von Punktprozessen
auf eine festgelegte Zeitskala und damit auf die Momente beschränkt, es sei denn,
die Zuwächse des Punktprozesses sind stationär verteilt.
5.3 Gekoppelte Punktprozesse
Werden zwei Punktprozesse gleichzeitig beobachtet, so stellt sich häufig die Frage,
ob die beiden Prozesse voneinander abhängen. In diesem und in den folgenden
Abschnitten soll auf diese Fragestellung näher eingegangen werden. Insbesondere
werden verschiedene Methoden vorgestellt, mit denen eine Abhängigkeit und eine
Kopplung zwischen Punktprozessen nachgewiesen werden kann.
Hierzu seien X = (X t ) t≥0 und Y = (Y t ) t≥0 zwei Punktprozesse, deren Ereigniszeiten
durch die Zufallsvariablen T k bzw. S k , k ∈ N 0 gegeben sind. Koppelt Y
in X, so wird im Allgemeinen die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste Ereignis
von X zum Zeitpunkt T k+1 = t k+1 eintritt, eine Funktion aller Ereignisse von X
und Y sein, die zuvor aufgetreten sind:
P {T k+1 = t k+1 } = F[t k+1 , T k = t k , . . . , S jk+1 −1 = s k , . . .] , (5.13)
mit j k+1 (ω) = min{l ∈ N 0 : S l (ω) ≥ T k+1 (ω)}, siehe Abb. 5.4. Der Index j k+1 (ω)
gibt hierbei das nächste Ereignis von Y an, das dem (k + 1)-ten Ereignis von
X zur Zeit T k+1 (ω) folgt. Dementsprechend ist S jk+1 (ω)−1(ω) der Zeitpunkt des