Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

3.4. PARAMETRISCHE VERTEILUNGEN 43
sehr rechenintensiv, denn das Gitter der Partitionierung muss fein genug sein,
um die Strukturen der Verteilung noch auflösen zu können. Dies hat zur Folge,
dass viele Partitionselemente nur noch sehr wenige Punkte enthalten.
Eine alternative Methode stellen adaptive Partitionen dar. Hierbei werden
nur jene Quader weiter zerlegt, die in einem lokalen Gebiet des Zustandsraumes
liegen, wo eine statistisch signifikante Substruktur vorhanden ist. Solch ein Algorithmus,
bei dem die Quader rekursiv in jeder Dimension des Zustandsraums
aufgespalten werden, wurde bereits von Fraser & Swinney (1986) vorgestellt. Eine
Variante ist in [Schreiber (1990)] beschrieben. Kürzlich wurde von Darbellay
(1999) ein ähnlicher Algorithmus publiziert, welcher die Quader gleichzeitig entlang
aller Koordinatenachsen zerlegt. Hierdurch wird ein Symmetriebruch, den
die gegenseitige Information in den zuvor erwähnten Methoden beim Vertauschen
der Argumente erfährt, vermieden. Als Abbruchkriterium wird ein χ 2 -Test
auf Unabhängigkeit angewandt. Auf Konvergenz wird hingegen nicht getestet, so
dass sich hier eine Fehlerquelle auftut, wenn die exakten Werte benötigt werden.
Da die gegenseitige Information bei den adaptiven Verfahren monoton steigt, mag
dies bei ihr nicht problematisch sein, bei der Transferentropie hingegen wohl. Daher
wurde von einer Modifikation der adaptiven Algorithmen zur Berechnung der
Transferentropie Abstand genommen.
Ein weiteres Problem bei der Schätzung der Dichten auf Partitionen ist ein
zusätzlicher Bias, der durch serielle Korrelationen entstehen kann, wenn die Punkte
in den Quadern gezählt werden. Eine detailierte Diskussion dieser Problematik
ist in [Kantz & Schreiber (1997)] zu finden. Das einzig bekannte Korrekturverfahren
besteht darin, nur solche Punkte in die Partitionselemente einzusortieren,
die in der Zeit dekorreliert sind, wofür allerdings eine enorme Menge an Daten
benötigt wird. Kernschätzer, die später noch vorgestellt werden, bieten eine viel
ökonomischere Lösung.
Falls nur ein Test auf Abhängigkeit von X t und Y s gewünscht ist, so ist es
wegen der monotonen Konvergenz der gegenseitigen Information ausreichend,
wenn für eine beliebige Partition gezeigt werden kann, dass M I (X i , Y j ) > 0
innerhalb statistischer Fluktuationen ist. Eine einfache Partition hierfür kann
beispielsweise erzeugt werden, indem der Zustandraum in jeder Dimension in
genau zwei Intervalle aufgeteilt wird. Für einen statistischen Test kann die
in [Darbellay (1999)] hergeleitete Fehlerformel oder ein Test mit Surrogaten
[Schreiber & Schmitz (2000a)] verwendet werden.
3.4 Parametrische Verteilungen
Gehört die Verteilung des Prozesses (X, Y ) zu einer Familie von Verteilungen,
die durch spezifische Parameter festgelegt sind, so reicht es aus, diese Parameter
für das konkrete System zu schätzen, um die gegenseitige Information oder
Transferentropie zu berechnen. Für beliebige parametrische Verteilungen sind