Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.5. NACHWEIS VON KOPPLUNG MITTELS ZUWÄCHSEN 99
T(X ti+1
- X ti
| (X ti
- X ti-1
) (k) , Y ti+1 -τ - Y t i -τ )
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 500 1000 1500 2000
Zeitverzoegerung τ [a.u.]
k = 1
k = 2
k = 4
k = 6
k = 8
k = 10
Abbildung 5.15: Transferentropie T (X ti+1 −X ti |(X ti −X ti−1 ) (k) , Y ti+1 −τ −Y ti −τ) als
Funktion der Zeitverzögerung τ für k = 1, . . . , 10 von unidirektional gekoppelte
Hindmarsh-Rose-Oszillatoren mit Kopplungsparameter g = 0.3. Die Zeitpunkte
t i wurden äquidistant gewählt, t i+1 − t i = ∆, mit ∆ = 20.
die Kopplung von Y in X gefolgert werden, wobei der Zuwachs Y ti − Y ti−1 den
größten Einfluss auf X ti+1 − X ti hat.
Die gleichen Untersuchungen wurden für die Kopplungsparameter 0 ≤ g ≤ 0.5
durchgeführt. Im gekoppelten Fall (g > 0.0) spiegelte für k > 8 und l = 10 die
Transferentropie stets die richtige Struktur des Modells wider. Im ungekoppelten
Fall (g = 0.0) lieferten die Transferentropien in Abhängigkeit von der Zeitverzögerung
für alle k und l konstante Werte, die denen des Biases entsprechen, was
auch hier die Modellstruktur richtig wiedergibt. In Abb. 5.16 sind für k = 10 und
l = 10 die Transferentropien für beide Kopplungsrichtungen und alle Kopplungsstärken
als Funktion der Zeitverzögerung aufgetragen. Die geschätzen Biaswerte
der Transferentropien, welche unter anderem auch von der Kopplungsstärke g
abhängen, sind zusätzlich als horizontale Linien eingetragen.
Mit der Transferentropie ist es zwar möglich, die Kopplungsrichtung zwischen
zwei Punktprozessen zu identifizieren, störend ist aber der relativ hohe
Bias des Schätzers. So beträgt dieser teilweise ein Drittel des Wertes von
T (X ti+1 − X ti |(X ti − X ti−1 ) (10) , Y ti+1 −τ − Y ti −τ) bei τ = ∆ = 20, siehe Abb. 5.16.
Der Bias der Transferentropie für die Richtung von Y nach X, T (X ti+1 −X ti |(X ti −
X ti−1 ) (10) , Y ti+1 −τ ∞
− Y ti −τ ∞
) mit τ ∞ = 2000, nimmt zwar mit der Länge der
Zeitreihe ab, siehe Abb. 5.17, doch dies geschieht relativ langsame und die Ge-