Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

74 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
auch Ankunftszeiten.
Die Zeitintervalle zwischen benachbarten Ereignissen, die durch den Prozess
D k = T k − T k−1 gegeben sind, werden Wartezeiten genannt, siehe Abb. 5.1. Mit
D 0 = 0 folgt unmittelbar aus Gl. (5.1)
∑
D 1 (ω) > 0 , D 2 (ω) > 0 , . . . , D k (ω) = ∞ (5.2)
für alle ω ∈ Ω.
Prinzipiell lassen sich solche stochastischen Systeme mit den Zufallsvariablen
für Ereigniszeiten T k oder den Wartezeiten D k , k ∈ N 0 beschreiben. Im Allgemeinen
können die Ereigniszeiten aber nicht nach dem Index k geordnet werden. Eher
ist zu erwarten, dass zum Beispiel beim ersten Experiment das sechste Ereignis
früher eintritt als das fünfte bei der Wiederholung, das heißt T 6 (ω 1 ) < T 5 (ω 2 ),
während gleichzeitig T 4 (ω 1 ) > T 3 (ω 2 ) gilt. Diese Situation ist in Abb. 5.1 illustriert.
T ( ) =0
k≥0
0 ω 1 T 1( ω 1 ) T 2( ω1)
T 3( ω 1 ) T 4( ω 1 ) T 5( ω 1 ) 6 ω 1
T ( ) =0
0 ω 2
D ( ω 2 )
T 1( ω 2 )
D ( )
T 2( ω 2 ) T 3( ω 2 )
D ( )
1 2 ω 2 3 ω 2
D 4( ω 2 )
T 4( ω 2 )
Experiment
D 5( ω 2 )
T ( )
Experiment
Abbildung 5.1: Ereigniszeiten von zwei Experimenten.
ω 1
ω
2
t
t
T 5( ω 2 )
Um diese Schwierigkeit zu umgehen, wird eine Größe benötigt, die auf der
reellen Zeitachse definiert ist und gleichzeitig zu jedem Zeitpunkt t ≥ 0 den
Zustand des Prozesses beschreibt. Diese Größe ist die Ereigniszahl N t (ω); sie gibt
die Anzahl der Ereignisse an, die im Zeitintervall [0, t] = {t ′ ∈ R + : 0 ≤ t ′ ≤ t}
auftreten. Die Ereigniszahl ist durch die größte ganze Zahl k, für die T k (ω) ≤ t
gilt, gegeben,
N t (ω) = max{k ∈ N 0 : T k (ω) ≤ t} , (5.3)
siehe Abb. 5.2. Entsprechend der Konstruktion von N t ist insbesondere N 0 = 0
fast sicher. Da es sich bei {N t : t ≥ 0} um eine Familie von Zufallsvariablen
mit Werten in N 0 handelt, ist durch N = (N t ) t∈R+ ein stochastischer
Prozess gegeben, der Punktprozess oder auch Zählprozess genannt wird
[Bauer (1991), Billingsley (1995)]. Insbesondere ist der Pfad bzw. die Realisierung
eines Punktprozesses, das heißt die Abbildung t → N t (ω), eine rechtsseitig