Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

3.6. KERNSCHÄTZER FÜR DICHTEN 49
Häufig kann ein Experiment nur einmal beobachtet werden. Wie bereits in
Absch. 3.1 erläutert wurde, können aus diesem einen Experiment ω 1 weitere Realisierungen
durch Zeitverschiebung geschaffen werden, sofern der (d-dimensionale)
Prozess X stationär ist, das heißt es wird x i (n) ≡ X i (ω n ) = X n (ω 1 ) ≡ x n gesetzt.
Dementsprechend erfolgt die Mittelung in Gl. (3.30) sowie in Gl. (3.34) –
(3.37) nicht mehr über Beobachtungen, sondern über die Zeit. Aufgrund serieller
Korrelationen innerhalb der Zeitreihe entsteht allerdings ein Bias, so dass die
Kernschätzer im Limes nicht mehr erwartungstreu sind. Diese Problematik wurde
bereits im Zusammenhang mit dem Schätzen von fraktalen Dimensionen von
Theiler (1986) diskutiert. Deshalb müssen die Kernschätzer diesbezüglich korrigiert
werden. Das von Theiler (1986) vorgeschlagene Verfahren besteht darin, in
der Summation in Gl. (3.33) all jene Terme auszulassen, die in der Zeit zu nahe
am Referenzzeitpunkt liegen. Der hieraus folgende modifizierte Kernschätzer
lautet
ĝ Xi ;ε(x i ) =
1
α(i, N, w)
wobei der Normierungsfaktor durch
N∑
n=1
|n−i|>w
d∏
j=1
( )
1 xi,j − x n,j
K j , (3.38)
ε j ε j
α(i, N, w) = N − min(i + w, N) + max(i − w, 1) − 1
gegeben ist. Das Theiler-Fenster w ist größer oder gleich der Dekorrelationszeit
zu setzen, siehe auch [Theiler (1990)].
Für den Kernschätzer ĝ (k) X
ist es naheliegend, die Bandbreiten bezüglich
i ,Y (l)
j ;ε
jeder Zeitkomponente von X (k)
i
gleich ε Y
gleich ε X und für jede Zeitkomponente von Y (l)
j
zu wählen, so dass ε = (ε X , . . . , ε Y , . . .) ist. Wenn die physikalische
Natur oder das dynamische Verhalten von X und Y unterschiedlich ist, ist es im
Allgemeinen schwierig, a priori eine geeignete Wahl für das Verhältnis von ε X
und ε Y zu treffen damit der Kernschätzer schnell konvergiert.
Die Kernschätzer haben den Vorteil, dass mit ihnen der Zustandsraum
gleichmäßig aufgelöst wird. Des Weiteren sind sie einfach in ein Computerprogramm
umzusetzen. Nachteilig ist, dass sie lokal hohe statistische Fehler aufweisen
können. Stehen nur endlich viele Datenpunkte zur Verfügung, so werden
viele ε-Umgebungen nur wenige oder gar keine Nachbarn beinhalten. Dies
führt zu statistischen und systematischen Fehlern. Für Rechteckkerne wurde
von Grassberger (1988) eine Korrekturformel für die Shannon-Entropie abgeleitet.
In erster Linie wird hierzu der Logarithmus durch die Digamma-Funktion
ψ(x) = Γ(x) ′ /Γ(x) mit ψ(0) = 0 ersetzt. Ähnliche Korrekturterme sind auch in
[Panzeri & Treves (1996), Moddemeijer (1999), Roulston (1999)] zu finden. Für
die gemeinsame Information und die Transferentropie wurden diese Korrekturen
zum Beispiel in [Schreiber (2000b)] und [Roulston (1997), Roulston (1999)] auf