Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

3.6. KERNSCHÄTZER FÜR DICHTEN 47
parabolischer Kern K(u) = 3 4 (1 − u2 ) falls |u| < 1 und 0 sonst
biparabolischer K(u) = 15
16 (1 − u2 ) 2 falls |u| < 1 und 0 sonst
dreieckiger K(u) = 1 − |u| falls |u| < 1 und 0 sonst
Gaußscher K(u) = 1 √
2π
e − 1 2 u2
rechteckiger K(u) = 1 2
falls |u| < 1 und 0 sonst
Tabelle 3.1: Kerne und ihre Definitionen.
approximieren. Die Zustände der N Beobachtungen ω n ∈ Ω, n = 1, . . . , N sind
mit x i (n) ≡ X i (ω n ) bezeichnet worden. Die nichtnegative Funktion K ist der
sogenannte Kern, mit dem diese Punkte gewichtet werden. Der Parameter ε > 0
ist die Bandbreite, mit ihr wird die Größe der Umgebung festgelegt, deren Punkte
beim Zählen berücksichtigt werden. Erfüllt K
∫
∫
∫
K(u) du = 1 , u K(u) du = 0 , u 2 K(u) du < ∞ (3.31)
und ist g Xi zweimal differenzierbar, dann konvergiert ĝ Xi ;ε punktweise gegen g Xi :
ĝ Xi ;ε(x i )
ε→0
−−→ g Xi (x i ) , ∀x i ∈ R . (3.32)
Siehe Anhang A für einen Beweis dieser Aussage. Ist die Dichte g Xi ausreichend
glatt, so dass alle Strukturen bereits mit einer festen Bandbreite ε 0 aufgelöst werden,
so wird im Allgemeinen ĝ Xi ;ε ≈ g Xi für 0 < ε < ε 0 gelten. Dementsprechend
nähert bei fest vorgegebener Bandbreite ε der Kernschätzer die Dichte in dem
Sinne, dass Strukturen auf einer kleineren Skala als ε ignoriert werden.
Die gebräuchlichsten Kerne sind in Tab. 3.1 aufgelistet. Insbesondere
bei der Analyse von dynamischen Systemen wird der rechteckige Kern
verwendet [Grassberger & Procaccia (1983a), Theiler (1986), Theiler (1990),
Kantz & Schreiber (1997)].
Das Konzept der Kernschätzer kann auf mehrdimensionale Prozesse erweitert
werden. Leider hängt hier die Wahl eines effektiven Kerns (gemeint ist
ein Kern mit schneller Konvergenz in der Bandbreite und kleiner Varianz)
sehr stark von der zugrunde liegenden Struktur und der Dynamik des Prozesses
ab [Silverman (1986)]. Ohne Kenntnis über die Dynamik bleibt nur,
die Kartesische Struktur des Zustandsraums auszunutzen. Deshalb wird hier
der mehr-dimensionale Kern als Produkt von ein-dimensionalen Kernen geschrieben,
K(u 1 , . . . , u d ) = K 1 (u 1 ) · · · K d (u d ). Hieraus folgt der d-dimensionalen
Kernschätzer
ĝ Xi ,ε(x i ) = 1 N∑ d∏
( )
1 xi,j − x i,j (n)
K j , (3.33)
N ε j ε j
n=1
j=1