Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

96 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
sollen Markov-Prozesse darstellen, muss zusätzlich gefordert werden, dass die betrachteten
Zeitpunkte 0 = t 0 < t 1 < t 2 < . . . < t i+1 äquidistante Abstände
haben:
t j+1 − t j = ∆ ∀j = 0, . . . , i .
Entsprechend dieser Modellvorstellung wird in dem Fall, dass der Prozess Y
in X koppelt, der Zuwachs X ti+1 − X ti von den vorherigen Zuwächsen X ti −
X ti−1 , . . . , X ti−k+1 − X ti−k sowie von Y ti+1 − Y ti , . . . , Y ti−l+1 − Y ti−l abhängen (k, l ∈
N), während im ungekoppelten Fall stets
P Xt i+1 −Xt i |(Xt i −Xt i−1 )(k) =x (k)
i , (Y ti+1 −Y ti ) (l) =y (l)
i+1
= P Xt i+1 −Xt i |(Xt i −Xt i−1 )(k) =x (k)
i (5.32)
gilt. Hierbei wurde die Abkürzung (X ti − X ti−1 ) (k) = (X ti − X ti−1 , . . . , X ti−k+1 −
X ti−k ) für den Produktzuwachs verwendet. Zur Illustration siehe Abb. 5.13. Da
X
Y
Xt i−1
−X t i−2
Xt
i
−Xt i−1
Xt i+1
−Xt i
t
T k−2 Tk−1
Tk
Tk+1
Y t i−1
−Y t i−2
Yt i
−Y t i−1
Yt i+1
−Yt
i
t
S
S
S S
S S
l−3 l−2 l−1 l
l+1
l+2
∆
t t t t
i−2 i−1 i i+1
Abbildung 5.13: Abhängigkeit zwischen den Zuwächsen zweier Punktprozesse.
Die Pfeile symbolisieren den Einfluss der vorherigen Zuwächse auf den Zuwachs
X ti+1 −X ti . Alle Zeitpunkte t i haben einen äquidistanten Abstand (t i+1 −t i = ∆).
Ereignisse von Y im Intervall (t i , t i+1 ] auch noch einen Einfluss auf den Zuwachs
X ti+1 − X ti haben können, muss in der Bedingung der Übergangsverteilung in
Gl. (5.32) der gegenwärtige Zuwachs Y ti+1 − Y ti von Y zugelassen werden.
Die Quantifizierung der Kopplung kann wieder mit Hilfe der Transferentropie
T (X ti+1 − X ti |(X ti − X ti−1 ) (k) , (Y ti+1 − Y ti ) (l) ) erfolgen, indem jetzt die
Zuwächse der Prozesse betrachtet werden, siehe auch Absch. 2.1.2, Gl. (2.21).
Ist ein Nachweis der Kopplung ausreichend, so kann hierfür die Transferentropie