Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.2. MOMENTE UND EREIGNISRATEN 77
2. die Zuwächse N t − N s mit 0 ≤ s < t Poisson-verteilt sind. Das heißt die
Verteilung von N t − N s ist gegeben durch
−α (t−s) (α (t − s))n
P {N t − N s = n} = e , n ∈ N 0 . (5.8)
n!
Da die hier eingeführten Punktprozesse die Normalität N 0 = 0 fast sicher erfüllen,
wird dieser Poisson-Prozess auch normal genannt [Bauer (1991)].
Insbesondere ist jeder Punktprozess mit unabhängig und exponentiell verteilten
Wartezeiten D k ein Poisson-Prozess. Ebenso handelt es sich bei einem
Punktprozess N um einen Poisson-Prozess, wenn seine Zuwächse N t1 , N t2 −
N t1 , . . . , N tk − N tk−1 für beliebige 0 < t 1 < t 2 < . . . < t k unabhängig und
stationär verteilt sind. Letzteres besagt, dass die Verteilung von N t − N s für
0 ≤ s < t nur von der Zeitdifferenz t − s abhängt, das heißt P Nt−Ns = π t−s ,
siehe Gl. (5.5) sowie [Bauer (1991), Billingsley (1995)]. Dementsprechend stellt
die Verteilung der Zuwächse eines Poisson-Prozesses eine Faltungshalbgruppe
dar: π t−s = P Nt−Ns = P Nt−Nu+Nu−Ns = P Nt−Nu ∗ P Nu−Ns = π t−u ∗ π u−s für
0 ≤ s < u < t, wobei “∗” die Faltung zweier Maße bezeichent, siehe hierzu
[Bauer (1992), Bauer (1991)].
5.2 Momente und Ereignisraten
Im vorherigen Abschnitt wurde dargelegt, dass die Anzahl der Ereignisse einer
Beobachtung im Zeitintervall (s, t], 0 ≤ s < t durch den Zuwachs N t (ω) − N s (ω)
gegeben ist. Um eine generelle Aussage über ein stochastisches System zu machen,
ist nicht so sehr der Wert einer Beobachtung von Interesse, als viel mehr
der Erwartungswert gemittelt über alle möglichen Realisierungen. Daher ist der
Zuwachs N t (ω) − N s (ω) über alle Beobachtungen ω ∈ Ω zu mitteln. Dieser Erwartungswert
von Ereignissen im Zeitintervall (s, t] lautet
∫
M((s, t]) = E [N t − N s ] = N t (ω) − N s (ω) P (dω) . (5.9)
Im Folgenden wird die mittlere Anzahl von Ereignissen in einem Zeitintervall als
1. Moment des Punktprozesses bezeichnet.
Zwar ist bei dem 1. Moment die Zufallskomponente herausgemittelt, dennoch
stellt sie nicht die gewünschte physikalische Größe dar, denn das Moment bezieht
sich immer auf ein Intervall (s, t]. Dementsprechend ist das Moment nicht
invariant gegenüber Zeitskalierungen. Für physikalische Interpretationen ist die
mittlere Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit erwünscht, also die Ereignisrate.
Diese ist gegeben durch
Ω
M((t − ∆, t])
m(t) = lim
, (5.10)
∆→0 + ∆