Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

82 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
ein ganzzahliges Vielfaches von der Frequenz des zweiten Generators unterscheidet.
Ebenso sind X und Y (stochastisch) abhängig, wenn diese ungekoppelt sind,
aber von einem dritten Prozess Z getriggert werden. Damit von Abhängigkeit
auf Kopplung geschlossen werden darf, müssen Fälle wie diese ausgeschlossen
werden. In den meisten Fällen ist solch eine Schlussfolgerung möglich, wenn eine
entsprechende Modellvorstellung der zu untersuchenden Systeme zugrunde liegt.
5.4 Nachweis von Abhängigkeiten mittels
Zuwächsen
5.4.1 Abhängigkeitsnachweis über Zuwächse
Da es sich bei den Pfaden der Punktprozesse um monoton wachsende Funktionen
handelt (siehe Abb. 5.2), können die Wahrscheinlichkeiten in Gl. (5.18) nur dann
geschätzt werden, wenn eine ausreichende Anzahl von Beobachtungen vorliegt.
Anders sieht es mit den Zuwächsen aus. Sind die zugrundeliegende Dynamik der
Punktprozesse X und Y sowie die Kopplung zwischen ihnen zeitunabhängig, sind
also die Zuwachse X ti −X ti −∆ und X ti+1 −X ti+1 −∆ stationär verteilt, so lautet ein
Schätzer für die Verteilung der Zuwächse X t − X t−∆ bezüglich des Zeitfensters
(t − ∆, t]
P {X t − X t−∆ = x} ≈ 1 n
n∑
δ(X ti (ω) − X ti −∆(ω), x) .
i=1
Dementsprechend kann die Verteilung eines stationär verteilten Zuwachses aus
einer Beobachtung geschätzt werden.
Um ein Kriterium für Abhängigkeit zu erhalten, wird zunächst Gl. (5.18) von
Ereigniszahlen auf Zuwächse umgeschrieben. Hierzu ist lediglich zu berücksichtigen,
dass die Subtraktion eine stetige Abbildung ist. Folglich ist im Falle der Unabhängigkeit
auch die gemeinsame Verteilung der Zuwächse von X und Y stochastisch
unabhängig [Bauer (1991), Behnen & Neuhaus (1995), Billingsley (1995)]:
P Xt i+1 −Xt i ,...,Xt 2 −Xt 1 , Ys j −Ys j−1 ,...,Ys 2 −Ys 1
= P Xt i+1 −Xt i ,...,Xt 2 −Xt 1 ⊗ P
Y sj −Y sj−1 ,...,Y s2 −Y s1 , (5.19)
mit beliebigen 0 ≤ t 1 < . . . < t i < t i+1 , 0 ≤ s 1 < . . . < s j und i, j ∈ N. Die
Abhängigkeit X ti+1 − X ti von X ti − X ti−1 , . . . und Y ti+1 − Y ti , . . . ist in Abb. 5.5
illustriert, wobei s j = t i+1 , . . . ist.
Durch Ausintegrieren von Gl. (5.19) folgt unmittelbar, dass die Punktprozesse
X und Y nicht unabhängig sein können, wenn für beliebige 0 ≤ t i−1 < t i und
0 ≤ s j−1 < s j die Zuwächse X ti − X ti−1 und Y sj − Y sj−1 voneinander abhängen,