Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

112 KAPITEL 6. ZUSAMMENFASSUNG
liegt, so dass die Ereignisse jene Zeitpunkte makieren, in denen ein Schwellenwert
in der Dynamik überschritten wird, so können die Verteilungen der Zuwächse
N t − N s aus nur einer Zeitreihe geschätzt werden. Der Zuwachs N t − N s gibt
dabei die Anzahl der Ereignisse an, die innerhalb des Zeitfensters (s, t] stattgefunden
haben. Da, wie ich gezeigt habe, zwei Punktprozesse nicht voneinander
unabhängig sein können, wenn deren Zuwächse voneinander abhängen, müssen
lediglich die Verteilungen der Zuwächse geschätzt werden, um Abhängigkeiten
nachzuweisen. An einem Beispielsystem, bestehend aus gekoppelten Hindmarsch-
Rose-Oszillatoren, wurde demonstriert, dass es durch Betrachten der Zuwächse
möglich ist, Abhängigkeiten zwischen zwei Punktprozessen mit Hilfe der gegenseitigen
Information nachzuweisen und zu quantifizieren. Hierzu reichten sogar
relativ kurze Zeitreihen aus, die ungefähr 500 Ereignisse enthielten.
Häufig werden Koinzidenzen zwischen Punktprozessen gesucht, um auf
Abhängigkeiten schließen zu können. Dabei versteht man unter Koinzidenzen
das nahezu gleichzeitige Auftreten von Ereignissen in beiden Prozessen. Wie ich
gezeigt habe, lässt sich die mittlere Anzahl von Koinzidenzen auf die Momente
der Zuwächse zurückführen. Insbesondere kann sie durch die Kovarianz der
Zuwächse quantifiziert werden.
Damit die Stärke der Kopplung sowie die Kopplungsrichtung zwischen Punktprozessen
aus nur einer Realisierung bestimmt werden können, muss angenommen
werden, dass sich alle dynamischen Eigenschaften der Prozesse in den Zuwächsen
widerspiegeln. Dies wurde an dem oben genannten Beispielsystem illustriert. Da
hierfür aufgrund der Markov-Eigenschaft der Prozesse mehrere Zuwächse in der
Vergangenheit bei der Berechnung der Transferentropie berücksichtigt werden
müssen, sind relativ lange Zeitreihen nötig, um Aussagen über die Kopplung und
somit über die Struktur des Systems treffen zu können.
Der Nachweis von Abhängigkeiten durch Zuwächse erfolgt auf der Basis von
Ereignisgruppen, welche durch die Fensterbreite der Zuwächse bestimmt werden.
Um den Nachweis auf der Ebene einzelner Ereignisse machen zu können, muss
daher die Fensterbreite sehr klein gewählt werden, was wiederum auf Kosten
der Signifikanz geht. Aus diesem Grund wurde ein neues Verfahren entwickelt,
bei dem zwei Sequenzen von Ereignisintervallen zwischen den Ereignissen beider
Prozesse definiert wurden, und zwar so, dass beide Sequenzen mit nur einem Index
geordnet werden können. Anschließend wurden diese Ereignisintervalle mit
der gegenseitigen Information auf Abhängigkeit hin untersucht. An dem Beispielsystem
zeigte sich ebenfalls, dass dieses Verfahren auch bei kürzeren Zeitreihen,
die nur noch bis zu 500 Ereignisse enthalten, robuste Aussagen lieferte und kaum
an Signifikanz verlor.