Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN MITTELS ZUWÄCHSEN 89
M(X ti
-X ti-1
, Y ti +τ -Y t i-1 +τ )
0.04
gesamte Daten (g=0.3)
0
0.04
1. Segment (g=0.3)
0
0.04
2. Segment (g=0.3)
0
0.04
3. Segment (g=0.3)
0
0.04
4. Segment (g=0.3)
0
0.04
5. Segment (g=0.3)
0
-2000 -1000 0 1000 2000
Zeitverschiebung τ [a.u.]
Abbildung 5.9: Gegenseitige Information M(X ti −X ti−1 , Y ti +τ −Y ti−1 +τ) zwischen
den Zuwächsen X ti − X ti−1 und Y ti +τ − Y ti−1 +τ als Funktion der Zeitverschiebung
τ. Fensterbreiten t i − t i−1 = ∆ = 10, Kopplungstärke g = 0.3. Oberste Kurve:
gesamte Zeitreihe (50000 Punkte ≈ 2500 Ereignisse). Untere Kurven: verschiedene
Segmente der gesamten Zeitreihe mit 10000 Punkten ≈ 500 Ereignisse.
von Eguia et al. verwendeten Wörter.
5.4.2 Anwendung von Momente und Koinzidenzen
5.4.2.1 Kovarianz zwischen Zuwächsen
In Absch. 5.4.1 wurde eine Methode vorgestellt, mit der es möglich ist, Abhängigkeiten
zwischen zwei Punktprozessen nachzuweisen. Hierzu wurde die Unabhängigkeit
der Zuwächse von Punktprozessen (Gl. (5.20)) überprüft. Dies erfolgte,
indem die gegenseitige Information zwischen den Zuwächsen X ti − X ti−1
und Y sj − Y sj−1 mit 0 ≤ t i−1 < t i und 0 ≤ s j−1 < s j berechnet wurde.
Insbesondere bei langen Zeitreihen kann die Berechnung der gegenseitigen
Information sehr rechenintensiv werden, weshalb ein einfacheres Verfahren
wünschenswert ist. Dieses kann ebenfalls aus Gl. (5.20) abgeleitet werden. So
folgt aus der Gültigkeit von Gl. (5.20) unmittelbar, dass die Kovarianzen zwischen
den Zuwächsen
Cov [ X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1
]
= E [ (X ti − X ti−1 − E [ X ti − X ti−1
]
) · (Ysj − Y sj−1 − E [ Y sj − Y sj−1
]
)
]
(5.24)