Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

110 KAPITEL 6. ZUSAMMENFASSUNG
Kopplungsrichtung gemacht werden kann.
Da die Transferentropie ursprünglich nur für stochastische Prozesse mit diskretem
Zustandsraum definiert wurde, war es notwendig, sie für Prozesse mit
kontinuierlichem Zustandsraum zu formulieren. Zu diesem Zweck habe ich die
in der Transferentropie auftretenden Übergangswahrscheinlichkeiten durch deren
Dichten bezüglich des Lebesgue-Maßes ersetzt. Hierdurch haben sich alle Eigenschaften
der diskreten Transferentropie auf die kontinuierliche Transferentropie
übertragen. Da hierfür die Existenz der Dichten gefordert wird, können nur solche
kontinuierlichen Prozesse betrachtet werden, deren Verteilungen und Übergangsverteilungen
eine Lebesque-Dichte besitzen.
Damit die Quantifizierung der Abhängigkeit und der Kopplung physikalisch
interpretierbare Werte liefert, wird gefordert, dass sich die Werte der gegenseitigen
Information und der Transferentropie bei Koordinatentransformationen
nicht ändern. Für diskrete Prozesse ist dies trivialerweise erfüllt. Wie ich zeigen
konnte, bleiben beide informationstheoretischen Größen ebenfalls invariant gegenüber
Koordinatentransformationen, wenn die Zustände beider Prozesse separat
mit einem C 1 -Diffeomorphismus transformiert werden. Im Besonderen ändern
nichtlineare Reskalierungen oder Rotationen der gemessenen Daten bei mehrdimensionalen
Prozessen die Werte der gegenseitigen Information und der Transferentropie
nicht.
Möchte man die gegenseitige Information oder die Transferentropie aus
Zeitreihen schätzen, so ist man mit einer Vielzahl von unterschiedlichen Schwierigkeiten
konfrontiert. Die Verteilungen von diskreten Prozessen lassen sich relativ
einfach schätzen, indem die Häufigkeiten, mit denen die Zustände beobachtet
werden, gezählt werden. Werden bei zeitlich langsam driftenden Kopplungsparametern
die Verteilungen auf kleinen Zeitfenstern geschätzt, so liefern gegenseitige
Information und Transferentropie noch aussagekräftige Werte, so dass das zeitliche
Verhalten von Abhängigkeit und Kopplung studiert werden kann.
Hingegen ist das Schätzen von Transferentropie und gegenseitiger Information
für kontinuierliche Prozesse sehr viel schwieriger, da die Dichten in überabzählbar
vielen Zuständen aus endlich vielen Beobachtungen geschätzt werden müssen.
Bei der Partitionsmethode wird zunächst der Zustandsraum in nichtüberlappende
Quader zerlegt. Anschließend werden die Wahrscheinlichkeiten betrachtet, mit denen
die Prozesse in diesen Partitionselementen beobachtet werden. Dies entspricht
einer Transformation der kontinuierlichen Prozesse in Symbolsequenzen, also in
diskrete Prozesse. Sind die Dichten der Übergangsverteilungen stetig und existiert
die kontinuierliche Transferentropie als Riemann-Integral, so konvergiert auf
Partitionen mit immer kleiner werdenden Elementen die Transferentropie gegen
die kontinuierliche Transferentropie. Ebenso konvergiert die gegenseitige Information
auf einer Partition gegen die kontinuierliche gegenseitige Information, sofern
die Dichten stetig sind. Handelt es sich bei der Partitionenfolge um Partitionen,
deren Elemente in kleinere Quader zerlegt werden, so ist die Konvergenz der gegenseitigen
Information sogar monoton steigend. Folglich kann eine Abhängigkeit