Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

Kapitel 5
Punktprozesse
5.1 Definition eines Punktprozesses
Bei den bisher untersuchten Prozessen spielte der Zustand, den ein System
zu einer bestimmten Zeit annimmt, die entscheidene Rolle. Denkt man aber
an den α-Zerfall, Elektrokardiogramme oder das Eintreffen eines Telefonats in
der Vermittlungszentrale, so ist nicht der Zustand des Prozesses, sondern viel
mehr der Zeitpunkt, an dem solch ein Ereignis eintritt, von Interesse. Die Beschreibung
von stochastischen Systemen durch ihre Ereigniszeiten erfolgt mit
einer speziellen Prozessklasse, den sogenannten stochastischen Punktprozessen,
siehe [Bauer (1991), Billingsley (1995)] und [Lewis (1972)]. Diese Prozesse sollen
im Folgenden genauer betrachtet werden, insbesondere soll die gegenseitige
Abhängigkeit zweier Punktprozesse anhand ihrer Ereigniszeiten genauer untersucht
werden.
Wird zum Beispiel 1mol Thorium betrachtet, so findet zu aufeinander folgenden
Zeitpunkten 0 = t 0 < t 1 < t 2 < . . . ein α-Zerfall statt, wobei angenommen
wird, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der solche Ereignisse gleichzeitig vorkommenen,
Null ist. Außerdem sollen in einem endlichen Zeitintervall auch nur endlich
viele Zerfallsprozesse auftreten. Würde dieses Experiment wiederholt, so erhielte
man erneut eine Sequenz von Ereignissen, im Allgemeinen aber mit anderen
Ereigniszeiten t k , k ∈ N 0 als zuvor. Dies ist in der stochastischen Natur dieses
Prozesses begründet.
Dementsprechend sind die Zeitpunkte (t k ) k∈N0 von Ereignissen eines Prozesses,
wie den oben beschriebenen, durch eine Familie von nichtnegativ reellwertigen
Zufallsvariablen (T k ) k∈N0 gegeben. Für diese gilt
0 = T 0 (ω) < T 1 (ω) < T 2 (ω) < . . . , sup T k (ω) = ∞ (5.1)
k
für jedes ω ∈ Ω (siehe Abb. 5.1) [Bauer (1991), Billingsley (1995)]. Dabei ist
(Ω, A, P ) der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum, der nicht weiter spezifiziert
werden muss. Die Zeitpunkte T k (ω), k ∈ N 0 heißen Ereigniszeiten oder
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