Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

3.5. KONTINUIERLICHES BEISPIEL: AR(1)-PROZESSE 45
3.5 Kontinuierliches Beispiel: AR(1)-Prozesse
Analog zum diskreten Beispiel in Absch. 2.1.3 soll hier das Verhalten der kontinuierlichen
gegenseitigen Information und der kontinuierlichen Transferentropie
für gekoppelte autoregressive Prozesse untersucht werden, wobei Y autonom ist
und in X koppelt:
X i+1 = α X i + c Y i + η X i+1 ,
Y i+1 = β Y i + η Y i+1 . (3.29)
c ist der Kopplungsparameter. Die Zufallsvariablen ηi
X und ηi Y , stellen Gaußsches
weißes Rauschen dar und sind normalverteilt, E [ ] [ ]
ηi
X = E η
Y
i = 0,
E [ ] [ ]
ηi
X · ηi
X = E η
Y
i · ηi
Y = 1. Somit sind alle Verteilungen gaußisch, so dass
Gl. (3.27) und Gl. (3.28) angewendet werden können. Des Weiteren ist der Prozess
(X, Y ) für große Zeiten stationär, woraus unmittelbar folgt, dass alle Momente
zeitunabhängig sind. Dies wiederum erlaubt einem, auf einfachste Weise alle
benötigten Kovarianzen zu berechnen. Hierfür ist zunächst das Gleichungssystem
Cov [Y i+1 , Y i+1 ] = β 2 Cov [Y i , Y i ] + 1 ≡ Cov [Y i , Y i ]
Cov [X i+1 , X i+1 ] = α 2 Cov [X i , X i ] + c 2 Cov [Y i , Y i ]
+ 2 c α Cov [X i , Y i ] + 1 ≡ Cov [X i , X i ]
Cov [X i+1 , Y i+1 ] = α β Cov [X i , Y i ] + c β Cov [Y i , Y i ] ≡ Cov [X i , Y i ]
zu lösen, was mit u = (1 − β 2 ), v = (1 − α 2 ) und w = (1 − α β) auf
Cov [Y i , Y i ] = 1 u ,
Cov [X i , Y i ] = c β
u w ,
Cov [X i , X i ] = c 2 1 + α β
u v w
führt. Hieraus folgen die restlichen Kovarianzen
+ 1 v
Cov [Y i+1 , Y i ] = β Cov [Y i , Y i ] = β u ,
Cov [Y i+1 , X i ] = β Cov [X i , Y i ]
= c β2
u w ,
Cov [X i+1 , Y i ] = α Cov [X i , Y i ] + c Cov [Y i , Y i ] = c 1
u w ,
Cov [X i+1 , X i ] = α Cov [X i , X i ] + c Cov [X i , Y i ] = c 2 α + β
u v w + α v .
Hiermit können die gegenseitige Information und die Transferentropie in beide
Richtungen gemäß Gl. (3.27) bzw. Gl. (3.28) berechnet werden. Die Ergebnisse
für α = 0.6 und β = 0.5 sind als Funktion des Kopplungsparameters c in