Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

Kapitel 1
Einleitung
Zum Verständnis komplexer Systeme, wie des Erdklimas, neuronaler Netzwerke,
Kreislaufsysteme von Lebewesen oder Finanzmärkten, ist es notwendig,
die Wechselwirkungen der einzelnen Subsysteme, also die Abhängigkeiten
und Kopplungen der Subsysteme untereinander zu bestimmen. Eine Vielzahl
von Arbeiten beschäftigt sich mit der Bestimmung der Kopplungsstärke
und Kopplungsrichtung von dynamischen Systemen aus Zeitreihen, insbesondere
im Kontext von Synchronisation tritt diese Fragestellung häufig auf
[Rosenblum et al. (1996), Pikovsky et al.(2001), Quian Quiroga et al. (2000)].
Für Systeme wie Phasenoszillatoren sind verlässliche Antworten erhältlich
[Rosenblum & Pikovsky (2001)]. Ist das angetriebene System nichtsingulär,
so kann die Kreuzvorhersage [Rulkov et al. (1995)] oder die Interdependenz
[Arnhold et al. (1999), Le Van Quyen et al. (1999)] herangezogen werden, um
Aussagen über die Kopplungsrichtung zu bekommen. Oft wird zur Identifikation
des treibenden und des angetriebenen Systems versucht, die Kopplungsstärken
zu quantifizieren. Hierzu nehmen die meisten Autoren an, dass ein bestimmter
Parameter in der zugrunde liegenden Bewegungsgleichung die Auswirkung der
Kopplung bestimmt. Aber gerade im Zusammenhang mit nichtlinearen Prozessen
ist die Quantifizierung des Kopplungsterms nicht eindeutig, vielmehr hängt
die Kopplungsstärke von der verwendeten Methode und den gemessenen Systemvariablen
ab.
Zur Bestimmung der Eigenschaften und zur Analyse von stochastischen Systemen
haben sich informationstheoretische Techniken [Shannon & Weaver (1949),
Cover & Thomas (1991), Jumarie (1990)] wie Shannon- und Kolmogorov-Sinai-
Entropien bewährt und sind daher weit verbreitet [Katok & Hasselblatt (1995),
Ott (1993), Palus (1996b), Brandt & Pompe (1993), La Rosa et al. (2000)]. Da
diese Methoden die Systemeigenschaften in Form von Informationen oder
Informationsraten quantifizieren, ist hierdurch eine anschauliche Interpretation
der Werte möglich. Aussagen über die Kopplung zwischen stochastischen
Prozessen basieren daher häufig auf der Betrachtung der stochastischen
Abhängigkeit zweier Prozesse voneinander, welche mit der gegenseitigen Infor-
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