Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN MITTELS ZUWÄCHSEN 87
tion für kleine Zeitverschiebungen |τ| werden mit jenen für große |τ| verglichen.
Letztere liegen, wie oben dargelegt wurde, in der Größenordnung des Biases.
Die Oszillationen in der gegenseitigen Information werden von der Dynamik
des angetriebenen Prozesses X bestimmt. Dabei zeigt X aufgrund der Kopplung
im zeitlichen Mittel ein quasi-periodisches Verhalten, bei dem sich stets Zeitintervalle
ohne Ereignisse mit Intervallen, in denen sehr viele Ereignisse auftreten,
abwechseln, siehe Abb. 5.6. Die Längen beider Intervalle variieren in der Zeit,
im Mittel beträgt sie ungefähr 200 Zeiteinheiten. Dieser Wert entspricht der Periodendauer
in den Oszillationen der gegenseitigen Information. Da sowohl die
Länge der Zeitintervalle mit und ohne Ereignissen, als auch der Abstand zweier
Ereignisse von X innerhalb der einzelnen Intervalle sich ändern, verlaufen
die Abhängikeiten mit der Zeit, so dass die Amplitude der Oszillationen mit τ
abnehmen. Insbesondere besitzt die gemeinsame Information der Zuwächse des
angetriebenen Systems, M(X ti − X ti−1 , X ti +τ − X ti−1 +τ),
die gleiche Periodizität.
Als Nächstes wird untersucht, welchen Einfluss die Fensterbreite der Zuwächse
∆ auf den Nachweis der Abhängigkeit hat. Hierzu wird abermals die gegenseitige
Information M(X ti − X ti−1 , Y ti +τ − Y ti−1 +τ) als Funktion der Zeitverschiebung τ
berechnet. Jetzt hingegen bleibt g = 0.3 konstant und t i − t i−1 = ∆ wird als
Parameter von 1 bis 100 variiert. Die Ergebnisse sind in Abb. 5.8 zu sehen.
M(X ti
-X ti-1
, Y ti +τ -Y t i-1 +τ )
0.0004
0
0.008
0
0.04
0
0.12
0.08
0.04
t i - t i-1 = ∆ = 1 (g=0.3)
∆ = 5 (g=0.3)
∆ = 10 (g=0.3)
∆ = 20 (g=0.3)
0
-2000 -1000 0 1000 2000
Zeitverschiebung τ [a.u.]
Abbildung 5.8: Gegenseitige Information M(X ti −X ti−1 , Y ti +τ −Y ti−1 +τ) zwischen
den Zuwächsen X ti −X ti−1 und Y ti +τ −Y ti−1 +τ als Funktion der Zeitverschiebung τ
für verschiedene Fensterbreiten t i −t i−1 = ∆ und mit einer festgelegten Kopplung
von g = 0.3.