Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

3.3. PARTITIONIERUNG DES ZUSTANDSRAUMS 39
Um Konvergenzaussagen über die vergröberte gegenseitige Information
machen zu können, muss auch hier vorausgesetzt werden, dass g Xi ,Y j
·
log(g Xi ,Y j
/g Xi g Yj ) Riemann-integrierbar ist und dass die Dichten g Xi ,Y j
, g Xi sowie
g Yj stetig sind. Diesmal wird der Zustandsraum von (X i , Y j ) partitioniert, wobei
auch hier wieder (I n ) n∈N eine Folge von Partitionen mit ‖I n ‖ → 0 für n → ∞
ist. Mit dem Mittelwertsatz lassen sich die Wahrscheinlichkeiten, mit denen der
Prozess in dem Quader I n anzutreffen ist, durch die Dichten ausdrücken:
P {(X i , Y j ) ∈ I m,n } = g Xi ,Y j
((˜x, ỹ)(m, n)) · |I m,n | ,
P {X i ∈ Π Xi (I m,n )} = g Xi (˜x(m, n)) · |Π Xi (I m,n )| , (3.13)
P {Y j ∈ Π Xi (I m,n )} = g Yj (ỹ(m, n)) · |Π Yj (I m,n )| ,
wobei Π Xi und Π Yj Projektoren sind, die (X i , Y j ) auf X i bzw. Y j abbilden. Auch
hier sind (˜x, ỹ)(m, n) ∈ I m,n , ˜x(m, n) ∈ Π Xi (I m,n ) und ỹ(m, n) ∈ Π Yj (I m,n ). Werden
diese Wahrscheinlichkeiten in Gl. (2.9) eingesetzt und wird berücksichtigt,
dass für die Quadervolumina nach dem Satz von Fubini
|I m,n | = |Π Xi (I m,n ) × Π Yj (I m,n )| = |Π Xi (I m,n )| · |Π Yj (I m,n )|
gilt, so erhält man für die gegenseitige Information bezüglich I n
M In (X i , Y j ) =
∑M n
m=1
g Xi ,Y j
(˜x(m, n), ỹ(m, n))
× log g X i ,Y j
(˜x(m, n), ỹ(m, n))
g Xi (˜x(m, n)) · g Yj (ỹ(m, n)) · |I m,n| . (3.14)
Da die kontinuierliche gegenseitige Information als Riemann-Integral existieren
soll, folgt unmittelbar
M In (X i , Y j )
n→∞
−−−→ M(X i , Y j ) . (3.15)
Handelt es sich bei (I n ) n∈N um eine Folge verfeinerter Partitionen, so ist diese
Konvergenz sogar monoton steigend, denn es gilt
I n+1 ≺ I n =⇒ M In+1 (X i , Y j ) ≥ M In (X i , Y j ) , (3.16)
wie Darbellay (1999) zeigte.
Ein alternativer Beweis für diese Aussage soll im Folgenden vorgestellt werden.
Da jede Verfeinerung einer Partition gewonnen werden kann, indem eine endliche
Anzahl von elementaren Verfeinerungen hintereinander ausgeführt wird, reicht
es aus, wenn M J (X i , Y j ) ≥ M I (X i , Y j ) für jede elementare Verfeinerung J von
I gezeigt wird. J soll hierbei aus I hervorgehen, indem der Quader I m ∈ I in
die Quader J m1 , J m2 ∈ J , mit J m1 ∩ J m2 = ∅ und J m1 ∪ J m2 = I m zerlegt wird.
Dafür muss genau ein Intervall B m,k , das die k-te Kante von I m darstellt, in zwei