Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

Kapitel 4
Exkurs: Dynamische Systeme
4.1 Entropie eines dynamischen Systems
Eine Vielzahl von physikalischen, mathematischen oder biologischen Phänomenen
wird durch gewöhnliche Differentialgleichungssysteme
ẋ(t) = F (x(t)) (4.1)
mit Anfangswerten x(0) = x 0 beschrieben, (x(t) ∈ R d ). Ist F Lipschitz-stetig,
so existiert eine Lösung x(t, x 0 ) für das System, wobei x(t, x 0 ) für jeden Zeitpunkt
t eindeutig durch die Anfangsbedingung x(0) = x 0 festgelegt ist. Diese
deterministischen Prozessen waren in den bisherigen Betrachtungen weitgehend
ausgeschlossen.
In diesem Kapitel werden die wesentlichen Ideen vorgestellt, mit denen es
möglich ist, deterministische Prozesse als eine spezielle Klasse von stochastischen
Prozessen zu betrachten. Hierauf aufbauend wird anschließend gezeigt, wie sie
mit Techniken der Informationstheorie studiert werden können.
Ein allgemeines mathematisches Konzept, mit dem deterministische Prozesse
beschrieben werden, sind die dynamischen Systeme, [Katok & Hasselblatt (1995),
Ott (1993), Schuster (1989)]. Hierunter versteht man eine Familie von Abbildungen
(X t ) t∈Γ mit den Eigenschaften
1. X t : M −→ M ⊂ R d , ∀t ∈ Γ ,
2. X 0 (x) = id(x) = x , ∀x ∈ M ,
3. X t (X s (x)) = X t+s (x) , ∀s, t ∈ Γ, x ∈ M , (4.2)
4. X t : (M, B(M)) → (M, B(M)) ∀t ∈ Γ ,
5. t → X t (x 0 ) stetig ∀x 0 ∈ M ,
wobei B(M) die Borelsche σ-Algebra auf M ist, siehe hierfür auch
[Reitmann (1996), Walters (1981)]. Die kompakte Teilmenge M von R d wird
Zustands- oder Phasenraum genannt. Ist die Zeitmenge Γ = R oder R + , so spricht
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