Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

104 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
Kreuz-Intervalle E (i)
k
für irgendeine Intervallordnung i ∈ Z nicht stochastisch unabhängig
voneinander sind, das heißt wenn die gemeinsame Verteilung sich nicht
als Produktverteilung schreiben lässt. Dementsprechend wird die Abhängigkeit
von X und Y dadurch nachgewiesen, dass eine signifikante Abweichung von
P D k+1,E (i)
k
= P D k+1
⊗ P E(i) k , i = 0, ±1, ±2, . . . (5.36)
gesucht wird. Hierzu kann die gegenseitige Information M(D k+1 , E (i)
k
) zwischen
den Intervallen berechnet werden.
Da es sich bei D k+1 und E (i)
k
um reellwertige Zufallsvariablen handelt, erweist
sich die Berechnung von M(D k+1 , E (i)
k
) oft als problematisch, vor allem wenn
nur wenige Daten gegeben sind. Diese Schwierigkeit kann mittels Diskretisierung
überwunden werden. Sind D k+1 und E (i)
k
voneinander unabhängig, dann sind
auch die aus ihnen hervorgehenden diskretisierten Zufallsvariablen ˜D k+1 und Ẽ(i) k
unabhängig. Des Weiteren wurde in Absch. 3.3, Gl. (3.16) gezeigt, dass die gegenseitige
Information jeder Vergröberung von stochastischen Prozessen eine untere
Schranke für die gegenseitige Information der kontinuierlichen Prozesse ist, das
heißt
M( ˜D k+1 , Ẽ(i) k
) ≤ M(D k+1, E (i)
k ) .
Ist somit für eine Vergröberung der Intervallprozesse die gemeinsame Information
positiv, so hängen beide Punktprozesse voneinander ab.
Demzufolge bietet sich folgender Algorithmus zum Nachweis von Abhängigkeiten
zwischen Punktprozessen an: Zuerst wird der Zustandsraum von D k+1 in
Intervalle mit Länge ∆ D unterteilt, wobei als Partitionierungsursprung ein beliebiges
˜d ∈ R + gewählt wird. Analog wird der Zustandsraum von E (i)
k
partitioniert,
wobei eine Intervalllänge ∆ E und der Ursprung ẽ verwendet werden. Die diskreten
Zufallsvariablen, die aus dieser Partitionierung resultieren, lauten
˜D k+1 ( ˜d, ∆ D ) = u , falls ˜d + u ∆D ≤ D k+1 < ˜d + (u + 1) ∆ D ,
Ẽ (i)
k (ẽ, ∆ E) = v , falls ẽ + v ∆ E ≤ E (i)
k
< ẽ + (v + 1) ∆ E .
Als Nächstes wird die gegenseitige Information M( ˜D k+1 ( ˜d, ∆ D ), Ẽ(i) k
(ẽ, ∆ E))
zwischen D k+1 ( ˜d, ∆ D ) und E (i)
k
(ẽ, ∆ E) berechnet. Um mehr als nur eine Vergröberung
zu betrachten, wird der Partitionsprozess mehrfach wiederholt, indem die
Ursprünge ˜d und ẽ bei unveränderten ∆ D und ∆ E verschoben werden.
Bezüglich jeder dieser Partitionen wird die gegenseitige Information berechnet
und anschließend das Supremum genommen,
B ∆D ,∆ E
( ˜D k+1 , Ẽ(i) k ) = sup M( ˜D k+1 ( ˜d, ∆ D ), Ẽ(i)
0≤ ˜d