Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.5. NACHWEIS VON KOPPLUNG MITTELS ZUWÄCHSEN 97
T (X ti+1 − X ti |(X ti − X ti−1 ) (k) , Y ti+1 −τ − Y ti −τ) als Funktion der Zeitverzögerung
τ ≥ 0 betrachtet werden, wobei wegen der angenommenen kausalen Kopplung
nur nichtnegative τ berücksichtigt werden müssen. Ist diese Transferentropie für
ein τ ≥ 0 signifikant von Null verschieden, so hat mindestens einer der Zuwachs
Y ti+1 −τ − Y ti −τ einen direkten Einfluß auf X ti+1 − X ti , das heißt ein Kopplung von
Y nach X liegt vor. Ist hingegen T (X ti+1 −X ti |(X ti −X ti−1 ) (k) , Y ti+1 −τ −Y ti −τ) = 0
für alle τ ≥ 0, so kann keine Kopplung nachgewiesen werden.
Während für den Nachweis der Abhängigkeit beider Prozesse voneinander die
gegenseitige Information M(X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1 ) auf einen 2-dimensionalen
Zustandsraum geschätzt werden musste, muss für die Transferentropie mindestens
ein 3-dimensionaler Zustandsraum berücksichtigt werden. Dies führt dazu,
dass statistische Fluktuationen bei der Berechnung der Transferentropie sehr viel
größer sein werden als bei der gegenseitigen Information. Somit werden für den
Nachweis der Kopplung im Allgmeinen deutlich längere Zeitreihen benötigt als
zum Nachweis der gegenseitigen Abhängigkeit.
Beispiel: Gekoppelte Hindmarsh-Rose-Oszillatoren. Im Folgenden wird
an dem in Absch. 5.4.1 eingeführten Beispielsystem von gekoppelten Hindmarsh-
Rose-Oszillatoren gezeigt, wie mit Hilfe der Transferentropie das System auf
Kopplung untersucht werden kann, indem die Zuwächse betrachtet werden.
Hierzu wurde dieses System unter Verwendung der selben Parameter wie in
Absch. 5.4.1 für 1 000 000 Zeiteinheiten gelöst. Solch lange Zeitreihen waren diesmal
notwendig, um die statistischen Fluktuationen beim Schätzen der Übergangsverteilungen
auf einem ausreichend kleinen Niveau zu halten, da hier Zustandsräume
mit bis zu 12 Dimensionen betrachtet werden. Weiterhin wurden
nichtüberlappende, äquidistante Zeitfenster verwendet, das heißt t i = s i = ∆ i,
t i −t i−1 = ∆ für alle i, wobei ∆ = 20 gewählt wurde. Somit enthält jeder Zuwachs
bis zu 2, vereinzelnt auch 3 Ereignisse.
Zunächst wird für den Kopplungsparameter g = 0.3 der Einfluss, den der
Zuwachs X ti+1 −τ − X ti −τ, τ ≥ 0, auf Y ti+1 − Y ti hat, untersucht. Hierzu wird für
l = 1, . . . , 10 die Transferentropie T (Y ti+1 − Y ti |(Y ti − Y ti−1 ) (l) , X ti+1 −τ − X ti −τ)
als Funktion der Zeitverzögerung τ ≥ 0 berechnet. Aufgrund von Kausalität werden
hier nur nichtnegative Zeitverzögerungen betrachtet. Wie in Abb. 5.14 zu
sehen ist, zeigt die Transferentropie für l = 1 eine temporale Struktur im Bereich
τ = 0, . . . , 250. Für große τ fallen die Werte der Transferentropie innerhalb statistischer
Fluktuationen auf einen kleinen positiven Wert ab. Da die Korrelationen
innerhalb der Dynamik des Systems mit der Zeit abnehmen, stellt dieser Wert
den positiven Bias des Schätzers dar.
Werden weitere Zuwächse aus der Vergangenheit von Y berücksichtigt, so
nimmt die Ausprägung der temporalen Strukturen ab, da jetzt die indirekte Einflussnahme
der Zuwächse X ti+1 −τ − X ti −τ auf den Zuwachs Y ti+1 − Y ti stärker
unterbunden wird. Aufgrund des ebenfalls steigenden Biases ist eine direkte Ein-