Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

70 KAPITEL 4. EXKURS: DYNAMISCHE SYSTEME
Die von Arnhold et al. (1999) vorgeschlagene Methode zum Nachweis von
Kopplung bzw. von verallgemeinerter Synchronisation kann auch auf dynamische
Systeme
x n+1 = X n+1 (x 0 ; p 0 ) = X 1 (x n ; p n ) , {p 0 , p 1 , p 2 , . . .} gegeben (4.15)
angewendet werden, deren Parameter p n sich nur langsam in der Zeit verändern,
p n+1 ≈ p n . (4.16)
Hier ist zu beachten, dass die Parameter p 0 , p 1 , . . . gegeben sind; (p n ) n∈N0 ist kein
dynamisches System. Kann X 1 lokal nach p n aufgelöst werden, p n = ζ(x n , x n+1 ),
so folgt mit Gl. (4.16)
x n+2 = X 1 (x n+1 ; p n+1 ) ≈ X 1 (x n+1 ; ζ(x n , x n+1 )) .
Werden x n und x n+1 zu ˜x n+1 zusammengefasst und wird ˜X1 (˜x n ) =
(X 1 (x n ; ζ(x n−1 , x n )), id(x n )) gesetzt, so ergibt sich hieraus ein neues parameterfreies
dynamisches System [Hegger et al. (2000)],
˜x n+1 = ˜X 1 (˜x n ) . (4.17)
Liegen die Beobachtungen von X als Zeitreihe vor, so kann das System (4.17)
mittels Übereinbettung rekonstruiert werden. Hierzu ist jetzt eine Einbettungsdimension
m > 2 (D f + P ) notwendig. Dabei ist D f die fraktale Dimension von
X und P die Anzahl der Parameter [Hegger et al. (2000)].
Dies Verfahren soll an einem zeitdiskreten System von gekoppelten chaotischen
Oszillatoren mit gerichteter Kopplung demonstriert werden,
x n+1 = X 1 (x n ) + c · (Y 1 (y n ) − X 1 (x n ))
y n+1 = Y 1 (y n ) . (4.18)
Der Kopplungsparameter c wird mit c = 0.1 zunächst fest gewählt. Die einzelnen
Subsysteme werden mit der logistische Abbildung modelliert, siehe beispeilsweise
[Ott (1993)],
X 1 (x) = a · x (1 − x)
Y 1 (y) = b · x (1 − x) ,
wobei a = 3.81 und b = 3.80 gesetzt werden, so dass beide Subsysteme sich im
chaotischen Regime befinden.
Als Erstes wird das Verhalten der Interdependenz H (δ) (Y |X) untersucht,
wenn der Kopplungsparameter einen zeitlichen Drift aufweist:
c −→ c n = c + γ sin(2πν n)) . (4.19)