Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

66 KAPITEL 4. EXKURS: DYNAMISCHE SYSTEME
zusätzliches Mal beobachtet wird. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass
die zusätzliche Beobachtung Information über den Anfangswert liefert. Anders
ausgedrückt: chaotische Abbildungen produzieren im Laufe der Zeit Information
über ihren Anfangswert. Für große n divergieren die einzelnen Entropien wie n:
H W;P (X n−1) (n) ≈ Konstante · n. Hieraus folgt, dass
h KS (P ) = sup
W
lim
n→∞
1
n H W;P (X (n)
n−1)
gilt.
Da Trajektorien regulärer Bewegungen langsamer als exponentiell auseinander
laufen, wenn deren Anfangswerte einen beliebig kleinen Abstand voneinander
haben, und somit die Anzahl der Symbolsequenzen S (n)
n−1 langsamer
als exponentiell zunimmt, gilt h KS (P ) = 0, siehe Abb. 4.1. Für stochastische
Prozesse, bei denen die Zustände zeitlich unabhängig sind, faktorisieren die
Verbundwahrscheinlichkeiten, so dass H W;P (X (n)
n−1 ) ≈ n · H W;P (X 0 ) ist, also
H W;P (X n |X (n)
n−1) ≈ H W;P (X 0 ). Da H W;P (X 0 ) wie − log ‖W‖ divergiert, wobei
‖W‖ die Norm der Partition angibt (das Volumen des größten Partitionselementes),
erhält man h KS (P ) = ∞, siehe Gl. (3.11). Chaotische Systeme sind dadurch
charakterisiert, dass 0 < h KS (P ) < ∞ gilt, [Ott (1993), Schuster (1989)].
Ruelle (1989) konnte zeigen, dass zwischen der Kolmogorov-Sinai-Entropie
eines chaotischen Systems und dessen Lyaponov-Exponenten λ i , i = 1, . . . , d
stets
h KS (P ) ≤ ∑ λ i >0
λ i
erfüllt ist. Es gilt sogar die Gleichheit, also das Persin-Theorem, wenn das dynamische
System dissipativ ist, einen hyperbolischen Attraktor besitzt und die
periodischen Orbits dicht in ihm liegen.
Die Kolmogorov-Sinai-Entropie für diverse dynamische Systeme
ist in der bereits zitierten Literatur gegeben. Verfahren zur Berechnung
der Kolmogorov-Sinai-Entropie aus Zeitreihen sind zum Beispiel
in [Grassberger & Procaccia (1983c), Cohen & Procaccia (1985),
Kantz & Schreiber (1997)] und für räumlich ausgedehnte Systeme in
[Olbrich et al. (2000)] zu finden.
4.2 Interdependenz, verallgemeinerte
Synchronisation
Im Folgenden wird ein ergodisches dynamisches System (X, Y ) betrachtet, das
aus zwei Subsystemen X = (X i ) i∈Z und Y = (Y i ) i∈Z bestehen soll. Des Weiteren