Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

Kapitel 6
Zusammenfassung
Die Bestimmung der Kopplungsrichtung und der Kopplungsstärke zwischen zwei
beobachteten Prozessen aus Zeitreihen ist mit den unterschiedlichsten Schwierigkeiten
verbunden. Handelt es sich um ein dynamisches System, so wird häufig die
Ergodizität der Prozesse gefordert. Diese Voraussetzung kann dahingehend abgeschwächt
werden, dass sich die System- oder Kopplungsparameter nur langsam
in der Zeit ändern dürfen. So habe ich anhand von zwei gekoppelten logistischen
Abbildungen demonstriert, dass mit der Interdependenz die Kopplungsrichtung
auch in solch einem Fall richtig erkannt wird, wenn der Zustandsraum durch
Übereinbettung rekonstruiert wird.
Die Untersuchung der Kopplung zwischen stochastischen Prozessen erfolgt in
der Literatur vorwiegend dadurch, dass Abhängigkeiten, also zufällige Übereinstimmungen
zwischen beiden Prozessen nachgewiesen bzw. quantifiziert werden.
Hierzu wird oft die gegenseitige Information berechnet, welche die Informationsmenge
angibt, die beide Prozesse gemeinsam haben. Zur Quantifizierung der
Kopplung von Prozess Y nach X muss aber die Auswirkung, mit der die vergangenen
Zustände von Y den zukünftigen Zustand von X direkt beeinflussen,
gemessen werden. Eine geeignete Größe hierfür ist die Transferentropie. Ihre Werte
können als Menge des Informationsflusses vom ersten Prozess Y in den zweiten
Prozess X interpretiert werden. Dementsprechend ist die Transferentropie, ebenso
wie die gegenseitige Information, stets nichtnegativ. Liegt keine Kopplung von
Y nach X vor, so liefert die Transferentropie für diese Richtung immer Null,
auch wenn eine Kopplung in der entgegengesetzten Richtung existiert. Somit
kann sie zur Bestimmung der Kopplungsrichtung sowie zur Quantifizierung der
Kopplungsstärke herangezogen werden. Hierin unterscheidet sie sich von der gegenseitigen
Information, welche für unabhängige Prozesse stets Null ist, während
sie im Falle einer Kopplung im Allgemeinen positiv ist. So kann, wie ich gezeigt
habe, nur dann geschlossen werden, dass Y nicht in X koppelt, wenn alle vergangenen
Zustände von Y von allen Zuständen von X einschließlich des zukünftigen
unabhängig sind. Außerdem ist die gegenseitige Information symmetrisch
bezüglich des Vertauschens der Prozesse, so dass mit ihr keine Aussage über die
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