Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

3.3. PARTITIONIERUNG DES ZUSTANDSRAUMS 37
Partition I von
X i
elementare Ver−
feinerung von I
X i,2
X i,2
X i,1
X i,1
Verfeinerung von I
...
X i,2
X i,1
Abbildung 3.2: Beispiel einer Partition des Zustandsraums von X i = (X i,1 , X i,2 ),
wobei X zwei-dimensional ist (d = 2).
Abb. 3.2. J heißt eine Verfeinerung von I, wenn nach mehreren hintereinander
ausgeführten elementaren Verfeinerungen J aus I hervorgehen kann, in Zeichen:
J ≺ I.
Die Partitionierung von zum Beispiel X (k)
i erfolgt analog wie die von X i , denn
˜X i = X (k)
i kann als eine (d k)-dimensionale Zufallsvariable aufgefasst werden.
Als erstes wird das Konvergenzverhalten der diskretisierten Shannon-Entropie
in einer allgemeineren Form als in [Cover & Thomas (1991)] untersucht. Hierzu
wird vorausgesetzt, dass die kontinuierliche Shannon-Entropie, Gl. (2.31), als
Riemann-Integral existiert. Außerdem soll die Dichte g Xi eine stetige Funktion
sein. Des Weiteren sei (I n ) n∈N eine Folge von Partitionen des Zustandsraums von
X i mit ‖I n ‖ → 0 für n → ∞.
Für jedes n ∈ N ist die Wahrscheinlichkeit, mit der X i im Quader I m,n anzu-