Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

2.2. KONTINUIERLICHE STOCHASTISCHE PROZESSE 21
2.2 Kontinuierliche stochastische Prozesse
2.2.1 Verteilung kontinuierlicher Prozesse
In diesem Abschnitt sollen stochastische Prozesse mit kontinuierlichen Zuständen
untersucht werden, das heißt der Zustandsraum ist reellwertig und nicht abzählbar
(überabzählbar). Wie zuvor sei der stochastische Prozess X = (X i ) i∈Z
auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) definiert, siehe auch [Bauer (1991),
Behnen & Neuhaus (1995), Billingsley (1995)]. Für jedes i ∈ Z sind dessen Zufallsvariablen
X i reellwertig und messbar:
X i : (Ω, A, P ) −→ (R d , B(R d )) .
B(R d ) ist die Borelsche σ-Algebra auf R d , mit d ∈ N.
Da der Zustandsraum der hier betrachteten Prozesse nicht länger abzählbar
ist, können Größen wie Shannon-Entropie, gegenseitige Information und
Transferentropie nicht mehr direkt durch die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen
Zustände ausgedrückt werden. Um dennoch ähnliche Maße zum Beispiel für
Kopplung zu erhalten, muss die Untersuchung von kontinuierlichen Prozessen
auf solche beschränkt werden, deren Verteilungen eine Lebesgue-Dichte besitzen
[Cover & Thomas (1991), Jumarie (1990)]. Andernfalls besteht die Möglichkeit,
durch nachträgliche Diskretisierung die Prozesse auf diskrete Prozesse abzubilden.
Dies liefert Mehrdeutigkeiten, die aber unter bestimmten Umständen zusätzliche
Aussagekraft besitzen [Gaspard & Wang (1993)]. Ein Beispiel hierfür ist
die Kolmogorov-Sinai-Entropie, die eine spezielle Form der bedingten Shannon-
Entropie darstellt. Mit ihr ist es möglich, Aussagen über die Vorhersagbarkeit von
deterministischen Systemen, welche keine Lebesgue-Dichte besitzen, zu machen.
Die Kolmogorov-Sinai-Entropie wird in Absch. 4 vorgestellt.
Ein stochastischer Prozess X besitzt genau dann eine Wahrscheinlichkeitsdichte
bezüglich des Lebesgue-Maßes [Bauer (1992)], wenn jede endlichdimensionale
Randverteilung P X i 1 ,...,X ik
von X mit i 1 < . . . < i k ∈ Z als
∫
P X i 1 ,...,X ik (B) = g Xi1 ,...,X ik
(x 1 , . . . , x k ) dx 1 . . . dx k ∀B ∈ B(R d·k ) (2.29)
B
geschrieben werden kann. Dabei ist g Xi1 ,...,X ik
eine nichtnegative, reellwertige,
messbare Funktion. Sie stellt die Lebesgue-Dichte der Randverteilung dar
und wird Wahrscheinlichkeitsdichte oder kurz Dichte genannt [Bauer (1992),
Bauer (1991), Behnen & Neuhaus (1995), Billingsley (1995)]. Die hier verwendeten
Dichten beziehen sich stets auf das Lebesgue-Maß. Aus Gl. (2.29) folgt die
Identität
∫
g ...,Xik−1 ,X ik ,X ik+1 ,...(. . . , x k−1 , x k , x k+1 , . . .) dx k
= g ...,Xik−1 ,X ik+1 ,...(. . . , x k−1 , x k+1 , . . .) , (2.30)