Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

20 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER INFORMATIONSTHEORIE
gegenseitige Information, Transferentropie
log(2)
M(X i , Y i ) = M(X i+1 , Y i ) = M(Y i+1 , X i )
T(X i+1 | X i , Y i )
T(Y i+1 | Y i , X i )
0.5
0.25
0
0 0.25 0.5 0.75 1
Kopplungsparameter c
Abbildung 2.3: Gegenseitige Information und Transferentropie als Funktion des
Kopplungsparameters c für zwei binäre stochastische Prozesse X und Y , wobei
Y autonom ist und stochastisch in X koppelt.
sind die gleichzeitige gegenseitige Information M(X i , Y i ) sowie die zeitverzögerte
M(X i+1 , Y i ) und M(Y i+1 , X i ) für alle Kopplungsstärken c identisch. Somit kann
die zeitverzögerte gegenseitige Information allein nicht als Indikator für die Richtung
des Informationstransports bzw. der Kopplung verwendet werden, was aber
häufig in der Literatur [Kaneko (1986), Vastano & Swinney (1988)] zu finden ist.
So deutet in dem Beispiel die gemeinsame Information darauf hin, dass Information
mit derselben Rate in beide Richtungen ausgetauscht wird. Dies ist aber
falsch, denn aufgrund der kausalen Natur kann Y nicht durch X beeinflusst werden.
Korrekt wird dies hingegen von der Transferentropie T (Y i+1 |Y i , X i ) wiedergegeben,
welche identisch Null ist. Außer für c = 0, ungekoppelter Fall, und c = 1,
maximale Kopplung, ist die zur Richtung Y → X zugehörige Transferentropie
T (X i+1 |X i , Y i ) positiv. Bei maximaler Kopplung tritt vollständige Synchronisation
ein. In solch einem Fall ist es nicht möglich, nachträglich festzustellen, ob eine
Kopplung vorliegt oder ob X ebenfalls autonom und periodisch ist. Insbesondere
ist dieser Fall ein Beispiel für stochastische Abhängigkeit (M(X i , Y i ) > 0) ohne
Kopplung (T (X i+1 |X i , Y i ) = 0), siehe auch Gl. (2.23).