Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

68 KAPITEL 4. EXKURS: DYNAMISCHE SYSTEME
mit stetigem bzw. stetigem, injektiven ψ K und ψ S . Für die erste Gleichung muss
eventuell die Einbettungsdimension von u i erhöht werden, da hier x i und x i+1 zu
einem höherdimensionalen Zustandsvektor zusammengefasst werden müssen.
Demzufolge kann auf Interdependenz oder verallgemeinerte Synchronisation
geschlossen werden, wenn die Existenz einer stetigen bzw. stetigen, injektiven
Funktion ψ K bzw. ψ S nachgewiesen werden kann. Eine modifizierte Version der
hierfür von Arnhold et al. (1999) vorgeschlagenen Methode soll am Beispiel der
Interdependenz, Gl. (4.11), skizziert werden:
Als Erstes werden alle Nachbarn von u n gesucht, die sich in einer δ-Umgebung
B δ (u n ) um u n befinden, B δ (u n ) = {u i : ‖u i − u n ‖ < δ, i = 1, . . . , N}. ‖.‖ ist
eine geeignete Norm auf dem Raum der Einbettungsvektoren u i , beispielsweise
die Maximumsnorm ‖u i ‖ ∞ = max j=0,...,m−1 |u i−j |. Diese Nachbarn seien durch
die Indizes s n,1 , . . . , s n,kn(δ) gegeben. Dabei ist k n (δ) = |B δ (u n )| die Anzahl der
Elemente in B δ (u n ). Ist ψ K stetig, so sollten alle Bilder v sn,i = ψ K (u sn,i ) von u sn,i
in einer Umgebung um v n liegen, deren mittlerer quadratischer Abstand durch
gegeben ist, siehe Abb. 4.2.
d (δ)
Y |X (v n) = 1
k∑
n(δ)
|v sn,i − v n | 2
k n (δ)
v
i=1
Ψ K
(δ)
d
Y|X
( v n )
n
d (k (δ))
Y
( v n )
v n
(N)
d ( v
Y n
)
un
u
Abbildung 4.2: Schematische Darstellung zur Definition der Interdependenz sowie
der hierfür benötigten Abstände.
2δ
Anschließend werden die k n (δ) nächsten Nachbarn von v n bestimmt. Diese
seien durch die Indizes r n,1 , . . . , r n,kn(δ) gegeben. Der mittlere quadratische eukli-