Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.5. NACHWEIS VON KOPPLUNG MITTELS ZUWÄCHSEN 95
abhängiges X und Y
P {N(x, y, T ) = n} =
T !
n! · (T − n)! · (P {X t i
− X ti−1 = x} · P {Y ti − Y ti−1 = y}) n
× (1 − P {X ti − X ti−1 = x} · P {Y ti − Y ti−1 = y}) T −n .
Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, mit der im unabhängigen Fall mindestens n min
bzw. maximal n max Ereignismuster (x, y) gefunden werden, durch
bzw.
P {min N(x, y, T ) = n min } =
P {max N(x, y, T ) = n max } =
∞∑
n=n min
P {N(x, y, T ) = n} ,
n∑
max
n=0
P {N(x, y, T ) = n}
gegeben. Dies ermöglicht es, die Werte n min und n max so zu bestimmen, dass ein
statistischer Test zum Signifikanzlevel α ausgeführt werden kann, um auf nicht
zufällige Koinzidenzen zu testen. Dieses Verfahren lässt sich direkt auf mehr als
zwei Punktprozesse erweitern, siehe [Grün et al. (2002)].
5.5 Nachweis von Kopplung mittels Zuwächsen
Um Kopplung zwischen Punktprozessen untersuchen zu können, wäre es von
Vorteil, wenn Gl. (5.17) ebenfalls auf Zuwächse umgeschrieben werden könnte.
Dies ist aber nicht ohne weiteres möglich. Denkt man aber an Neuronen, die über
eine Synapse gekoppelt sind, so ist es plausibel anzunehmen, dass das Neuron X
zusätzlich zum Spiken angeregt wird, wenn die Anzahl der Ereignisse von Neuron
Y innerhalb eines Zeitfensters einen bestimmten Schwellenwert übersteigt.
Häufig stellen Punktprozesse Abbilder von dynamischen Systemen oder kontinuierlichen
Prozessen in dem Sinne dar, dass die Ereigniszeiten die Zeitpunkte
markieren, in denen die dynamischen Variablen einen Schwellenwert überschreiten.
Dementsprechend kann jedem dynamischen System ein Punktprozess zugeordnet
werden, indem die Durchstoßzeiten eines Poincaré-Schnitts aufgezeichnet
werden [Kantz & Schreiber (1997), Hegger & Kantz (1997)]. Dieses Verfahren
wurde bereits verwendet, um aus den Hindmarsch-Rose-Oszillatoren des vorherigen
Beispiels Punktprozesse zu erzeugen. Unter diesen Bedingungen ist ebenfalls
die Annahme naheliegend, dass die Zuwächse eines späteren Zeitfensters von
den vorherigen abhängen. Damit in jedem Zeitpunkt nur endlich viele Zuwächse
aus der Vergangenheit berücksichtigt werden müssen, das heißt die Zuwächse