Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...
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116 ANHANG A. MATHEMATISCHE WERKZEUGE<br />
Satz 4 (d-dimensionaler Kernschätzer) Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte g<br />
einer d-dimensionalen Zufallsvariablen X = (X 1 , . . . , X d ) zweimal differenzierbar<br />
<strong>und</strong> gilt für den Kern K<br />
∫<br />
K(u 1 , . . . , u d ) du 1 . . . du d = 1 ,<br />
∫<br />
u j K(u 1 , . . . , u d ) du 1 . . . du d = 0 , j = 1, . . . , d ,<br />
∫<br />
u i u j K(u 1 , . . . , u d ) du 1 . . . du d < ∞ , i, j = 1, . . . , d ,<br />
so ist der Kernschätzer der Dichte g<br />
1<br />
ĝ ε (x 1 , . . . , x d ) =<br />
N ε 1 · · · ε d<br />
erwartungstreu, dass heißt<br />
N<br />
∑<br />
n=1<br />
K<br />
(<br />
x1 − X 1 (ω n )<br />
, . . . , x )<br />
d − X d (ω n )<br />
ε 1 ε d<br />
E [ĝ ε (x 1 , . . . , x d )]<br />
ε 1 ,...,ε d →0<br />
−−−−−−→ g(x 1 , . . . , x d ) .<br />
Beweis: Eine analoge Rechnung wie im Satz 3 liefert die Behauptung.<br />
✷
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