Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

90 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
verschwinden müssen [Bauer (1991)], das heißt
Cov [ X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1
]
= 0 . (5.25)
Dabei ist E [Z] = ∫ Z(ω) P (dω) der Erwartungswert der Zufallsvariablen Z.
Ω
Hierbei ist zu beachten, dass stets aus der Unabhängigkeit (Gl. (5.20)) die Unkorreliertheit
(Gl. (5.25)) folgt. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Aus einer elementaren Rechnung folgt, dass die Kovarianz der Zuwächse durch
Momente höherer Ordnung (siehe Absch. 5.2) gegeben ist,
Cov [ ]
X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1
= E [ (X ti − X ti−1 ) · (Y sj − Y sj−1 ) ] − E [ X ti − X ti−1
]
E
[
Ysj − Y sj−1
]
. (5.26)
Folglich müssen für einen Test auf Abhängigkeit nur noch die Momente der
Zuwächse berechnet und nicht deren Verteilungen geschätzt werden, wie es bei
der gegenseitigen Information notwendig war (siehe Absch. 5.4.1). Aufgrund der
Linearität der Momente ist allerdings zu erwarten, dass bei nichtlinearer Kopplung
die Signifikanz eines Tests auf Abhängigkeit, basierend auf der Kovarianz,
geringer ausfallen wird als bei einem, dem die gegenseitige Information zugrunde
liegt.
Wie aus Gl. (5.26) ersichtlich ist, hängt der Wert der Kovarianz von den
Fensterbreiten t i − t i−1 und s j − s j−1 ab. Hier bietet sich die Möglichkeit, diese
Abhängigkeit zu eliminieren und somit einen absoluten Wert für die Korrelation
zwischen den Punktprozessen X und Y zu erhalten. Denn wenn die einzelnen
Momente in Gl. (5.26) eine Dichte m X,Y (t, s), m X (t) bzw. m Y (s) besitzen (siehe
Absch. 5.2), dann besitzt auch die Kovarianz der Zuwächse eine Dichte c(t, s) =
m X,Y (t, s) − m X (t) m Y (s) [Daley & Vere-Jones (1972)] mit
Cov [ X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1
]
=
∫t i
t i−1
∫s j
s j−1
c(t, s) ds dt .
Sie gibt die Korrelation zwischen den Punktprozessen pro Zeiteinheiten an und
kann mittels Grenzwertbildung ermittelt werden:
c(t, s) =
Cov [X t − X t−∆1 , Y s − Y s−∆2 ]
lim
.
∆ 1 →0 +
∆ 1 ∆ 2
∆ 2 →0 +
Insbesondere folgt aus c(t, s) > 0 bzw. c(t, s) < 0 für t i−1 < t ≤ t i , s j−1 <
s ≤ s j , dass Cov [ X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1
]
≠ 0 ist, also die Abhängigkeit beider
Punktprozesse voneinander.
Analog zu den Dichten der Momente ist ein Schätzer für die Kovarianzdichte
c(t, s) durch
ĉ ∆1 ,∆ 2
(t, s) = Cov [X t − X t−∆1 , Y s − Y s−∆2 ]
∆ 1 ∆ 2