Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

3.6. KERNSCHÄTZER FÜR DICHTEN 51
gegenseitige Information, Transferentropie
0.12
0.10
0.08
0.06
T ε (X i+1 | X i , Y i )
0.04
T ε (Y i+1 | Y i , X i )
M ε (X i+1 , Y i )
0.02
M ε (Y i+1 , X i )
0
0.1 0.2 0.4 1.0 2.0 4.0
Bandbreite ε
Abbildung 3.4: Gegenseitige Information und Transferentropie in Abhängigkeit
der Bandbreite eines Kernschätzers für ein System von autoregressiven Prozessen
mit gerichteter Kopplung, Gl. (3.29). Die zwei oberen Kurven repräsentieren
ˆM ε (X i+1 , Y i ) und ˆT ε (X i+1 |X i , Y i ), die zwei unteren ˆM ε (Y i+1 , X i ) und
ˆT ε (Y i+1 |Y i , X i ). Die exakten Werte der gegenseitigen Information und Transferentropie
sind als dünnere horizontale Linien eingezeichnet.
M(x i (n)) fest vorgegeben werden und die Umgebung wird so lange vergrößert,
bis sie die geforderte Anzahl an Nachbarn enthält. Dann ist
ĝ Xi (x i (n)) = α −1 M(x i(n))
V (x i (n))
ebenfalls ein Schätzer für g Xi . Hier ist V (x i (n)) das Volumen der Umgebung
um x i (n) mit M(x i (n)) Nachbarn und α ist ein geeigneter Normierungsfaktor.
Wird als Umgebung ein Quader gewählt, so ist V (x i (n)) = ∏ d
j=1 2 ε j.
Dieses Verfahren wird Fixed-Mass-Methode genannt [Kantz & Schreiber (1997)].
Wie sich herausstellte, liefert dieser Schätzer keine besseren Resultate als der
hier vorgestellte Kernschätzer mit festem ε. Stattdessen war seine Anwendung
noch sehr viel rechenintensiver. Eine ausführliche Diskussion der Anwendung
der Fixed-Mass-Methode auf das hier verwendete Beispielsystem ist in
[Kaiser & Schreiber (2002)] zu finden.