Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

94 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
Vielfache von δ sind. Somit ist (Y ti +δ −Y ti )·(X ti +τ+∆ −X ti +τ) die Anzahl der Koinzidenzpaare
eines Experimentes. Die mittlere Koinzidenzanzahl ist dann durch
den Erwartungswert
dieser Koinzidenzpaare gegeben:
Koinz-# = E [(Y ti +δ − Y ti ) · (X ti +τ+∆ − X ti +τ)] . (5.29)
Im unabhängigen Fall ist die mittlere Koinzidenzanzahl gegeben durch
Koinz-# unabh = E [Y ti +δ − Y ti ] · E [X ti +τ+∆ − X ti +τ] . (5.30)
Die Differenz beider Werte ist somit ein Maß für die Abhängigkeit. Insbesondere
folgt aus einem Vergleich mit Gl. (5.26), dass dieses Maß gleich der Kovarianz
ist,
Koinz-# − Koinz-# unabh = Cov [Y ti +δ − Y ti , X ti +τ+∆ − X ti +τ] (5.31)
∆/δ
∑
= Cov [ Y ti +δ − Y ti , X ti +τ+j δ − X ti +τ+(j−1) δ]
.
j=1
Für die letzte Gleichheit wurde die Additivität der Zuwächse ausgenutzt, X ti+2 −
X ti = X ti+2 − X ti+1 + X ti+1 − X ti mit t i < t i+1 < t i+2 .
Da auch X ti +τ+j δ−X ti +τ+(j−1) δ nur die Werte Null oder Eins annimmt, ist der
Wert (Koinz-# − Koinz-# unabh )/(∆/δ) nichts anderes als die über ein Zeitfenster
∆ gemittelte Kovarianz einer Zeitreihen von Punktprozessen (Gl. (5.6)), die um
0 bis ∆/δ Zeitschritte gegeneinander verschoben sind.
Ereignismuster. Unter der Annahme, dass die Punktprozesse X und Y stationär
verteilte Zuwächse haben, kann die Wahrscheinlichkeit angegeben werden,
wie häufig es vorkommt, dass zum Beispiel Prozess X ein Ereignis hat und
gleichzeitig Y keins, siehe [Grün et al. (2002)] für Details. Im Folgenden seien
die Zeitpunkte t i durch die Datenaufzeichnung so vorgegeben, dass t i − t i−1 = δ
für i = 1, . . . , T gilt, wobei δ die Zeitauflösung der Messung ist und T die Anzahl
der Datenpunkte. Somit repräsentiert das Zeitintervall (t i−1 , t i ] genau einen
Datenpunkt.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der X oder Y in einem Datenpunkt ein Ereingis
hat, ist durch die Ereingisrate λ X bzw. λ Y gegeben, P {X ti − X ti−1 = 1} = λ X δ,
P {Y ti − Y ti−1 = 1} = λ Y δ. Das Ereignismuster (x, y) ∈ {0, 1} 2 tritt, wenn X und
Y unabhängig sind, mit der Wahrscheinlichkeit P {X ti − X ti−1 = x, Y ti − Y ti−1 =
y} = P {X ti − X ti−1 = x} · P {Y ti − Y ti−1 = y} auf.
Bezeichnet N(x, y, T ) die Zufallsvariable, die angibt, wie häufig innerhalb
des Datensatzes das Muster (x, y) vorkommt, so lautet deren Verteilung für un-