Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

62 KAPITEL 4. EXKURS: DYNAMISCHE SYSTEME
man von einem zeitkontinuierlichen dynamischen System, ist Γ = Z oder Z + , so
wird das System als zeitdiskret bezeichnet. Ist die Zeitmenge Γ = R, so wird das
dynamische System auch Fluß genannt, ist Γ = R + , so spricht man von einem
Halbfluss [Reitmann (1996)].
Offensichtlich ist ein dynamisches System invertierbar, wenn es sich um ein
Fluss handelt oder wenn Γ = Z ist. Denn dann existiert zu jedem X t auch die
inverse Abbildung Xt −1 = X −t . Dies folgt aus der Gruppeneigenschaft in Gl. (4.2):
X −t (X t (x)) = X 0 (x) = x.
Wenn dynamische Systeme beobachtet werden, so erfolgt dies im Allgemeinen
nur zu diskreten Zeitpunkten, wobei die Zeitpunkte einen gleichen Abstand
haben. Dieser Abstand wird von der zeitlichen Auflösung der Messapparatur bestimmt.
Bei dem so beobachteten System handelt es sich ebenfalls um ein dynamisches
System aber diesmal mit diskreter Zeitmenge. So kann jeder Fluss
(X t ) t∈R in ein zeitdiskretes dynamisches System ( ˜X i ) i∈Z ≡ (X ti ) i∈Z transformiert
werden, wenn äquidistante, diskrete Zeitpunkte t i mit t i+1 − t i = ∆ für alle i ∈ Z
betrachtet werden. Offensichtlich erfüllt ( ˜X i ) i∈Z die Eigenschaften 1 – 4. Insbesondere
ist ˜X i+1 (x) = X ti+1 (x) = X ∆ ( ˜X i (x)) für alle i ∈ Z. Im Folgendem werden
nur dynamische Systeme mit diskreter Zeitmenge betrachtet.
Wird ein dynamisches System beobachtet, so sind zwar seine Zustände
X i (x 0 ) = x i zu jedem Zeitpunkt i durch den Anfangswert X 0 (x 0 ) = x 0 eindeutig
festgelegt, aber die Anfangswerte selbst werden im Allgemeinen zufällig
ausgewählt sein. Aus diesem Grund ist es naheliegend, M als Ereignisraum zu
betrachten, um hierauf aufbauend einen stochastischen Prozess zu konstruieren,
der das dynamische System repräsentiert.
Hierfür wird M mit der Borelschen σ-Algebra B(M) versehen. Desweiteren sei
P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf B(M), welches die Verteilung der Anfangswerte
x 0 ∈ M bei Beobachtungen festlegt. Dann ist X = (X i ) i∈Γ mit Γ = Z, Z + ein
stochastischer Prozess mit den in Gl. (4.2) gegebenen Eigenschaften.
Die Verteilungen von X sind durch P X i
gegeben, wobei die Wahrscheinlichkeit,
mit der das dynamische System zur Zeit i in einem der Zustände aus
B ∈ B(M) zu finden ist, durch P X i
(B) = P (X −1
i (B)) gegeben ist. Insbesondere
ist P X 0
= P . Besitzen die Verteilungen P X i
, i ∈ Γ eine Dichte, so kann das
dynamische System wie andere stochastische Prozesse mit der kontinuierlichen
Shannon-Entropie Gl. (2.31) charakterisiert werden.
Genau genommen hängt diese Charakterisierung von der Anfangsverteilung
P und von der Dynamik des Systems ab, an Letzterem ist man aber nur interessiert.
Deshalb werden nur solche Systeme betrachtet, bei denen die Anfangsverteilung
P so gewählt werden kann, dass sich die Wahrscheinlichkeit P X i
(B),
mit der das System in einem Gebiet B ∈ B(M) des Phasenraums beobachtet
wird, im Laufe der Zeit nicht verändert [Katok & Hasselblatt (1995), Ott (1993),
Reitmann (1996), Walters (1981)]:
P X i
(B) = P (X −1
i (B)) ≡ P (B) = P X 0
(B) , ∀i ∈ Γ . (4.3)