Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

4.2. INTERDEPENDENZ, VERALLGEMEINERTE SYNCHRONISATION 67
wird angenommen, dass die Subsysteme nur in einer Richtung gekoppelt seien
(gerichtet gekoppelt), das heißt Y sei ein autonomes System welches X antreibt:
x i+1 = X i+1 (x 0 , y 0 ) = X 1 (x i , y i )
y i+1 = Y i+1 (y 0 ) = Y 1 (y i ) . (4.8)
Wird solch ein dynamisches System beobachtet, so stellt sich die Frage,
wie eine Abhängigkeit, also eine Kopplung nachgewiesen werden kann. Die
Abhängigkeit zweier dynamischer Systeme wird auch Interdependenz genannt
[Arnhold et al. (1999), Le Van Quyen et al. (1999), Schiff et al. (1996)]. Ist das
angetriebene Subsystem nicht singulär, das heißt det (∂X 1 /∂y i,j ) ≠ 0, wobei y i,j
die j-te Komponente von y i ist, so kann X 1 lokal invertiert werden und man
erhält
y i = φ K (x i , x i+1 ) , (4.9)
siehe [Arnhold et al. (1999)]. Dabei ist φ K lokal stetig.
Eine andere interessante Eigenschaft ist die Synchronisation von X
und Y zum Beispiel aufgrund von Kopplung [Quian Quiroga et al. (2000),
Rulkov et al. (1995)]. So wird von verallgemeinerter Synchronisation gesprochen,
wenn es eine stetige Abbildung φ S gibt, so dass
x i = φ S (y i ) (4.10)
ist.
Üblicherweise liegen die Beobachtungen der Subsysteme X und Y als Zeitreihen
(u 1 , . . . , u N ) und (v 1 , . . . , v N ) vor. Diese Zeitreihen werden erzeugt, indem
zu den Zeitpunkten i die Systemzustände X i (x 0 ) und Y i (y 0 ) mit den Messfunktionen
U und V auf dem Skalar u i = U[X i (x 0 )] bzw. v i = V [Y i (y 0 )] abgebildet
werden [Kantz & Schreiber (1997)]. Nach dem Takens-Theorem [Takens (1981),
Sauer et al. (1991)] kann der Zustandsraum eines ergodischen dynamischen Systems
aus den Zeitreihen rekonstruiert werden, indem man zu den sogenannten
Einbettungsvektoren u i = (u i , . . . , u i−m−1 ) und v i = (v i , . . . , v i−m−1 ) übergeht.
Gilt für die Einbettungsdimension m die Relation m > 2 D f , wobei D f die fraktale
Dimension des dynamischen Systems ist, so gibt es Diffeomorphismen ζ X
und ζ Y mit (x i , y i ) = ζ X (u i ) = ζ Y (v i ). Sind φ S und φ K stetig bzw. stetig und
injektiv, dann folgen aus Gl. (4.9) die Beziehungen
bzw. aus Gl. (4.10)
v i = ψ K (u i ) , (4.11)
u i = ψ S (v i ) , (4.12)