Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

2.1. DISKRETE STOCHASTISCHE PROZESSE 19
für x, y = 0, 1 unter den Nebenbedingungen
1∑ 1∑
P {X i = x, Y i = y} = 1 ,
x=0 y=0
1∑
x=0 y=0
1∑
P {X i+1 = x, Y i+1 = y|X i = x i , Y i = y i } = 1 .
nach P {X i+1 = x, Y i = y} aufzulösen sind. Die Lösungen lauten
P {X i = 0, Y i = 0} = P {X i = 1, Y i = 1} = (1 − c)/4 ,
P {X i = 0, Y i = 1} = P {X i = 1, Y i = 0} = c/4 .
Zusammen mit Gl. (2.13) und Gl. (2.14) lassen sich hieraus alle anderen benötigten
Verteilungen berechnen. Insbesondere erhält man aufgrund der Kopplung die
folgenden Übergangsverteilungen P {X i+1 = x i+1 |X i = x i }:
(1 − c)(1 + c)
P {X i+1 = 0|X i = 0} = P {X i+1 = 1|X i = 1} = ,
4
P {X i+1 = 1|X i = 0} = P {X i+1 = 0|X i = 1} = (1 − c)2 + 2 c
.
2
Des Weiteren folgt P {X i = 1} = P {Y i = 1} = 1/2. Da Y zu jedem Zeitschritt
zwischen den Zuständen 0 und 1 mit Wahrscheinlichkeit 1 wechselt, folgt mit
der letzten Gleichung, dass Y ein stochastischer Prozess ist, dessen Dynamik
deterministisch ist.
Werden diese Verteilungen in Gl. (2.9) bzw. in Gl. (2.21) eingesetzt, so erhält
man für die gemeinsamen Informationen:
M(X i+1 , Y i ) = M(Y i+1 , X i ) = M(X i , Y i )
und für die Transferentropien:
= 1 {(1 + c) log(1 + c) + (1 − c) log(1 − c)} .
2
T (X i+1 |X i , Y i ) = c {(1 + c) log(1 + c) − (1 − c) log(1 − c)}
2
− 1 + c2
2
T (Y i+1 |Y i , X i ) = 0 .
log(1 + c 2 ) ,
Die gemeinsamen Informationen und Transferentropien sind in Abb. 2.3 als Funktion
der Kopplungskonstante c dargestellt. Da die Pfade von Y periodisch sind,