Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.6. ABHÄNGIGKEITSNACHWEIS ÜBER EREIGNISINTERVALLE 103
abhängt, siehe Abb. 5.18. Analog zu Gl. (5.13) folgt somit für die Verteilung der
(2)
D
k
D
k−2
D
k−1
(1)
D
k = D k
D
k+1
X
Tk−2 Tk−1
Tk Tk+1
t
Y
S
S
S S
S
S
l j k−2 j k−1 j k−1
j j k
k+1
t
(0)
Ek−2
(0)
Ek−1
(−1)
Ek
E
(0) k E
(0)
k+1
(−2)
Ek
(1)
E
k
Abbildung 5.18: Definition der Ereignisintervalle D k (ω) und E (i)
k
bezüglich der
Punktprozesse X und Y . Die Pfeile symbolisieren den Einfluss der vorherigen
Ereignisse auf das nächste Ereignis, wobei Y in X koppelt. T k (ω) gibt die Ereigniszeiten
von X und S l (ω) jene von Y an. Der Index j k+1 ist gegeben durch
j k+1 (ω) = min{l ∈ N 0 : S l (ω) ≥ T k+1 (ω)}.
Wartezeiten der funktionelle Zusammenhang
P {D k+1 = d k+1 } = F[d k+1 , D (1)
k
= d 1 , D (2)
k
= d 2 , . . . ,
E (0)
k
= e 0 , E (1)
k
= e 1 , E (−1)
k
= e −1 . . .] . (5.35)
Wie Gl. (5.33), bzw. Abb. 5.18 zu entnehmen ist, werden die Intra-Intervalle
D (i)
k
nur aus den Ereigniszeiten des Prozesses X gebildet. Hierbei gibt die Intervallordnung
i an, welches Ereignis vor T k verwendet wird. Für die Kreuz-Intervalle
(Gl. (5.34)) werden hingegen sowohl Ereigniszeiten von X als auch von Y benutzt.
Insbesondere werden Ereignisse von Y verwendet, die vor (Intervallordnung i < 0)
und nach (i ≥ 0) dem Ereignis T k auftreten. Aufgrund von Kausalität ist zu erwarten,
dass es eine maximale Intervallordnung î ≥ 0 gibt, so dass in Gl. (5.35)
nicht alle Intervalle berücksichtigt werden müssen.
Entsprechend Absch. 5.3 folgt aus Gl. (5.35), dass die Prozesse X und Y
nicht unabhängig voneinander sein können, wenn die Wartezeiten D k+1 und die