Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

2.2. KONTINUIERLICHE STOCHASTISCHE PROZESSE 29
Sei schließlich ψ 3 ein weiterer C 1 -Diffeomorphismus, der Y (l)
j
auf ψ 3 ◦ Y (l)
j
abbildet. Dann ist die Jacobi-Determinante des C 1 -Diffeomorphismus ψ =
(ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 ) gegeben durch
det (Dψ) (x i+1 , x (k)
i
, y (l) ) = det (D(ψ 1, ψ 2 , ψ 3 )) (x i+1 , x (k)
j
i
, y (l)
j )
= det (Dψ 1 ) (x i+1 ) · det (Dψ 2 ) (x (k)
i ) · det (Dψ 3 ) (y (l)
j ) . (2.50)
Werden nun die Dichten der Übergangsverteilung in Gl. (2.41) gemäß Gl. (2.37)
durch die Dichten der Verteilungen ersetzt, so folgt mit Gl. (2.48) und Gl. (2.50)
sowie mit dem Transformationssatz für Integrale die Transformationsinvarianz
der kontinuierlichen Transferentropie:
T (X i+1 |X (k)
i
, Y (l)
j ) = T (ψ 1 ◦ X i+1 |ψ 2 ◦ X (k)
i , ψ 3 ◦ Y (l)
j ) . (2.51)
Somit sind gegenseitige Information und Transferentropie geeignete Größen,
mit denen die stochastische Abhängigkeit bzw. die stochastische Kopplung zwischen
zwei kontinuierlichen Prozessen gemessen werden kann. Beide hängen nicht
von dem gewählten Koordinatensystem ab, insbesondere sind sie invariant gegenüber
der Reskalierung von Daten.