Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.3. GEKOPPELTE PUNKTPROZESSE 81
für die Verteilung von X ti+1 zu erwarten, wobei für i, j ∈ N die Zeitpunkte 0 ≤
. . . , t i−1 < t i < t i+1 und 0 ≤ . . . , s j−1 < s j < t i+1 beliebig sind:
P {X ti+1 = x i+1 }
= F[x i+1 , X ti = x i , . . . , X t1 = x 1 , Y sj = y j , . . . Y s1 = y 1 ] . (5.16)
Dementsprechend wird X in seiner Dynamik nicht von Y beeinflusst, wenn
P {X ti+1 = x i+1 |X ti = x i , . . . , X t1 = x 1 , Y sj = y j , . . . Y s1 = y 1 }
= P {X ti+1 = x i+1 |X ti = x i , . . . , X t1 = x 1 } (5.17)
gilt, das heißt wenn X stochastisch ungekoppelt von Y ist, siehe Absch. 2.1.2,
Gl. (2.20). Des Weiteren muss nach der Modellvorstellung in Gl. (5.16) wenigstens
P {X ti+1 = x i+1 , . . . , X t1 = x 1 , Y sj = y j , . . . Y s1 = y 1 }
= P {X ti+1 , . . . , X t1 = x 1 } ⊗ P {Y sj = y j , . . . Y s1 = y 1 } (5.18)
erfüllt sein, wenn X und Y stochastisch unabhängig sein sollen, wobei hier s j ≥
t i+1 zugelassen ist, siehe Absch. 2.1.1, Gl. (2.6).
Die Kopplung zwischen zwei Punktprozesse bzw. die Abhängikeit beider Prozesse
voneinander kann prinzipiell mit Gl. (5.17) und Gl. (5.18) untersucht werden.
In der Praxis erweist sich diese Heransgehensweise allerdings als sehr schwierig.
Dies hängt vor allem damit zusammen, dass die Pfade von Punktprozessen
monoton steigende Funktionen darstellen und folglich eine ausreichende Zahl von
Realisierungen vorhanden sein muss, um die Übergangsverteilungen in Gl. (5.17)
und die Verteilungen in Gl. (5.18) schätzen zu können. Häufig wird aber ein
Experiment nur einmal beobachtet. Aus diesem Grund werden die Punktprozesse
nur auf Kopplung und Abhängigkeit in Bezug auf ihre Zuwächse untersucht.
Wie in den folgenden Abschnitten gezeigt wird, impliziert die Gültigkeit
von Gl. (5.18), dass auch die Zuwächse der jeweiligen Prozesse unabhängig sind.
Dagegen muss für die Kopplung eine andere Modellvorstellung zugrunde gelegt
werden, um Kopplung auf Basis der Zuwächse nachweisen zu können.
Bevor auf die verschiedenen Methoden zum Nachweis von Abhängigkeiten
eingegangen wird, sei darauf hingewiesen, dass es sich um Abhängigkeiten im stochastischen
Sinn handelt. So ist der mathematisch definierte Begriff stochastisch
unabhängig in seiner Bedeutung nicht mit dem Begriff physikalisch unabhängig
äquivalent, der für ungekoppelt/stochastisch ungekoppelt steht. Denn stochastisch
unabhängig besagt nur, dass die Verteilungen der Systemvariablen nicht voneinander
abhängen, während ungekoppelte Systeme physikalisch voneinander getrennt
sind bzw. sich nicht mittels Kraftfeldern gegenseitig beeinflussen.
Sind X und Y ungekoppelte Systeme, die miteinander synchronisieren, das
heißt X t = ψ(Y t ), wobei ψ eine stetige Funktion ist, so ist X nicht stochastisch
unabhängig von Y . Ein einfaches Beispiel stellen zwei getrennte Frequenzgeneratoren
dar, die ein periodisches Signal geben, deren eine Frequenz sich nur um