Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN MITTELS ZUWÄCHSEN 91
gegeben, wobei die Fensterbreiten ∆ 1 und ∆ 2 klein zu wählen sind. Allerdings
fehlt auch hier im Falle endlicher Zeitreihen ein Kriterium für die optimale Wahl
von ∆ 1 und ∆ 2 .
Werden Experimente mehrfach wiederholt, so begegnet einem oft folgendes
Problem: Die Ereignisse in einem Zeitfenster variieren teilweise erheblich von
Experiment zu Experiment. Dies hat zur Folge, dass die Kovarianzwerte der
Zuwächse eine sehr hohe Streuung aufweisen. Um dem zu begegnen, ist es häufig
angebracht, die Kovarianzen auf die Standardabweichungen der Zuwächse zu normieren
[Kantz & Schreiber (1997)]:
Corr [ X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1
]
=
Cov [ X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1
]
√Var [ X ti − X ti−1
]
· Var
[
Ysj − Y sj−1
] . (5.27)
Hierbei ist Var [Z] = E [(Z − E [Z]) 2 ] die Varianz von Z [Bauer (1991),
Behnen & Neuhaus (1995)]. Die Größe Corr [ X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1
]
wird Korrelation
zwischen den Zuwächsen X ti − X ti−1 und Y sj − Y sj−1 genannt. In der
Literatur wird sie oft auch als Kreuzkorrelation bezeichnet. Mit einer elementaren
Rechnung folgt aus Var [X ± Y ] ≥ 0, dass stets | Corr [X, Y ] | ≤ 1 gilt.
Beispiel: Gekoppelte Hindmarsh-Rose-Oszillatoren. Die Anwendung der
Korrelation zum Nachweis von Kopplung wird am Beispiel der Hindmarsh-Rose-
Oszillatoren, die in Absch. 5.4.1 vorgestellt wurden, gezeigt. Auch hier werden
die Zeitpunkte äqudistant gewählt, mit t i − t i−1 = ∆, t i = s i .
Zunächst wird die Korrelation Corr [ X ti − X ti−1 , Y ti +τ − Y ti−1 +τ]
zwischen
den Zuwächsen als Funktion der Zeitverschiebung τ bei fest gewählter Fensterbreite
∆ = 10 für die Kopplungsstärken g = 0.0, 0.1, 0.3 und 0.5 berechnet.
Wie aus Abb. 5.10 zu ersehen ist, tritt im gekoppelten Fall g > 0.0 eine
temporale Struktur im Bereich τ = −1000 . . . 200 auf. Wie bei der gegenseitigen
Information (siehe Absch. 5.4.1) ist die nichtkausale Abhängigkeit bei g > 0.1 auf
den zugrunde liegenden Determinismus in der Dynamik der Oszillatoren zurückzuführen.
Des Weiteren ist die Periode, mit der die temporalen Strukturen oszillieren,
bei der Korrelation doppelt so lang wie bei der gegenseitigen Information,
da die gegenseitige Information kein negatives Vorzeichen hat und somit die Minima
nach oben klappt. Im Gegensatz zur gegenseitigen Information weist die
Korrelation relativ hohe Fluktuationen für große |τ| auf.
Auch die Korrelationswerte Corr [ X ti − X ti−1 , Y ti +τ − Y ti−1 +τ]
wachsen bei
konstanter Kopplung mit der Fensterbreite ∆ an. Dies ist für g = 0.3 in Abb. 5.11
gezeigt. Bei einer genaueren Untersuchung des ungekoppelten Falls (g = 0.0) zeigt
sich, dass mit steigendem ∆ die Korrelation in Abhängigkeit der Zeitverschiebung
τ eine oszillatorische Struktur herausbildet, deren Amplitude ≈ 0.06 bei ∆ = 20