Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

80 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
D
k−2
D
k−1
D
k
D
k+1
X
Tk−2 Tk−1
Tk Tk+1
t
Y
S
l
S
j k+1 −4
S
j k+1 −3
S
S
jk+1−2
jk+1−1
S
j k+1
t
Abbildung 5.4: Kopplung zwischen zwei Punktprozessen. Die Pfeile symbolisieren
den Einfluss der vorherigen Ereignisse auf das nächste Ereignis, das zur Zeit
T k+1 (ω) auftritt.
letzten Ereignisses von Y , das die Ankunftszeit T k+1 (ω) aufgrund von Kausalität
noch beeinflussen kann.
Entsprechend dieser Modellvorstellung kann das System bezüglich seiner Dynamik
dahingehend untersucht werden, ob die Punktprozesse X und Y stochastisch
ungekoppelt sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn
P T k+1|T k =t k ,T k−1 =t k−1 ,...,S jk+1 −1=s k ,S jk+1 −2=s k−1 ,...
= P T k+1|T k =t k ,T k−1 =t k−1 ,...
(5.14)
gilt.
Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Verteilung von (X, Y ) auf Unabhängigkeit
zu untersuchen. So ist entsprechend Gl. (5.13) zu erwarten, dass X
und Y nur dann stochastisch unabhängig sind, wenn wenigstens
P T k+1,T k ,T k−1 ,...,S jk+1 −1,S jk+1 −2,...
= P T k+1,T k ,T k−1 ,...
⊗ P S j k+1 −1,S jk+1 −2,...
(5.15)
erfüllt ist.
Prinzipiell können Gl. (5.14) und Gl. (5.15) benutzt werden, um Methoden
zum Nachweis von Kopplungen und Abhängigkeiten zu entwickeln. Die Tatsache,
dass die Ereigniszeit S jk+1 −1 von T k+1 abhängt, erschwert dies aber erheblich. Des
Weiteren handelt es sich bei den Ereigniszeiten um Zufallsvariablen mit kontinuierlichem
Wertebereich.
Diese Schwierigkeit wird umgangen, indem nicht die Ereigniszeiten, sondern
die Ereigniszahlen X t und Y t der beiden Punktprozesse betrachtet werden. So
ist auch hier ein entsprechender funktioneller Zusammenhang wie in Gl. (5.13)