Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

86 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
einer fest gewählten Fensterbreite ∆ mit ∆ = 10 berechnet.
M(X ti
-X ti-1
, Y ti +τ -Y t i-1 +τ )
0.02
ungekoppelt: g=0.0
0
0.02
gekoppelt: g=0.1
0
0.04
gekoppelt: g=0.3
0.02
0
0.04
gekoppelt: g=0.5
0.02
0
-2000 -1000 0 1000 2000
Zeitverschiebung τ [a.u.]
Abbildung 5.7: Gegenseitige Information M(X ti −X ti−1 , Y ti +τ −Y ti−1 +τ) zwischen
den Zuwächsen X ti − X ti−1 und Y ti +τ − Y ti−1 +τ als Funktion der Zeitverschiebung
τ für verschiedene Kopplungsstärken g. Die Fensterbreite wurde mit t i − t i−1 =
∆ = 10 fest gewählt.
Während für den ungekoppelten Fall (g = 0.0) die gegenseitige Information
Werte nahezu um Null liefert, ist eine deutliche temporale Struktur im gekoppelten
Fall g = 0.1 für Zeitverschiebungen τ ≈ −1000 . . . 0 zu sehen. Insbesondere
steigen die Werte von M(X ti − X ti−1 , Y ti +τ − Y ti−1 +τ) mit der Kopplungsstärke
g, wobei bei g > 0.1 auch eine nichtkausale Abhängigkeit für τ = 0 . . . 200 zu
erkennen ist. Diese ist auf die deterministische Dynamik der Hindmarsh-Rose-
Oszillatoren zurückzuführen. Wegen der zugrunde liegenden Kausalität und der
zeitlich abnehmenden Korrelation in den Dynamiken von Oszillator X und Y
fallen für große |τ| die Werte der gegenseitigen Information auf nahezu Null ab.
Der Wert Null selbst wird nur selten erreicht, da eine endliche Zeitreihe analysiert
wird. Denn aufgrund von statistischen Fluktuationen in den Schätzungen
der Verteilungen bleibt stattdessen, da die gegenseitige Information nichtnegativ
ist, ein positiver Bias. Dieser Bias kann prinzipiell mit der “Finite sample”-
Korrektur [Grassberger (1988), Panzeri & Treves (1996), Moddemeijer (1999),
Roulston (1999)] herausgerechnet werden. Da diese Korrekturen aber nur im Mittel
gelten, ist der exakte Bias nach wie vor unbekannt, was dazu führt, dass die
gegenseitige Information sogar negative Werte annehmen kann. Daher wird hier
keine Biaskorrektur vorgenommen, sondern die Werte der gegenseitigen Informa-