Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

4.1. ENTROPIE EINES DYNAMISCHEN SYSTEMS 63
Solch ein Maß P wird invariant unter X genannt. Aus Gl. (4.3) folgt, dass das
invariante Wahrscheinlichkeitsmaß P den stochastischen Prozess, welcher dem
dynamischen System zugeordnet ist, zu einem stationär stochastischen Prozess
macht.
Viele dynamische Systeme, vor allem solche mit chaotischer Dynamik, haben
die Eigenschaft, dass sie ihr invariantes Maß P selbst erzeugen. Wird für solche
Systeme eine beliebige Anfangsverteilung P 0 vorgegeben, so konvergiert P i ≡ P X i
0
schwach gegen P :
P i ≡ P X i
0 =⇒ P ≡ P X 0
≡ P X i
für i → ∞ ,
siehe [Reitmann (1996), Walters (1981)] und [Bauer (1992), Bauer (1991)] für
schwache Konvergenz. Dieses invariante Maß P wird auch natürliches invariantes
(Wahrscheinlichkeits-)Maß genannt. Nach dem Portmanteau-Theorem
[Bauer (1991), Billingsley (1995)] bedeutet dies, dass lim i→∞ P i (A) = P (A) für
alle A ∈ B(M) gilt, deren Ränder ∂A keine Masse tragen, P (∂A) = 0.
Besitzt das invariante Maß bzw. das natürliche invariante Maß P eine
Lebesque-Dichte g Xi , so kann das dynamische System mit der kontinuierlichen
Shannon-Entropie Gl. (2.31) charakterisiert werden.
Wird ein dynamisches System nur einmal beobachtet, so dass das invariante
Maß aus einer einzigen Realisierung, die zum Beispiel in Form einer Zeitreihe
vorliegt, geschätzt werden soll, so ist dies nur möglich, wenn der Prozess ergodisch
ist. Dies bedeutet, dass der Erwartungswert einer jeden integrierbaren Funktion
f bezüglich P durch Zeitmittelung berechnet werden kann, siehe Absch. 3.1,
Gl. (3.2). Insbesondere erhält man P (A) = P X 0
(A), indem in Gl. (3.2) f gleich
der Indikatorfunktion 1 A gesetzt wird.
Mit dem invarianten natürlichen Maß P ist das dynamische System X
charakterisiert, seine Dynamik, die regulär oder chaotisch sein kann, hingegen
nicht. Bei einer regulären Bewegung befinden sich alle Trajektorien (Pfade)
i → X i (x ′ 0) mit Anfangswerten x ′ 0 aus einer ε 0 -Umgebung um x 0 nach
i Zeitschritten in einer ε i -Umgebung um X i (x 0 ), wobei die Umgebung langsamer
wächst als exponentiell, 1/i log ε i −→ 0 für i → ∞. Bei chaotischen
Bewegungen wächst der Abstand von zwei Trajektorien, deren Anfangswerte
nur infinitisimal auseinander liegen, im Mittel exponentiell mit der Zeit, siehe
Abb. 4.1. Die Geschwindigkeit, mit der der Abstand pro Zeiteinheit zunimmt,
wird durch den größten Lyapunov-Exponenten λ bestimmt, siehe beispielsweise
[Katok & Hasselblatt (1995), Ott (1993), Reitmann (1996), Schuster (1989)]. Bei
einer zufälligen Bewegung läuft, im Gegensatz zu deterministischen Bewegungen,
eine δ-Verteilung auseinander. Somit sind die Zustände von Trajektorien mit gleichem
Anfangswert bereits nach kurzen Zeiten über den gesamten Zustandsraum
verstreut.
Die Dynamik selbst kann nicht mit der kontinuierlichen bedingten Shannon-
Entropie charakterisiert werden, da aufgrund des Determinismus die Übergangs-