Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

76 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
Die Menge aller Intervalle (s, t], s, t ∈ R + stellt einen Erzeuger der Borelschen
σ-Algebra B(R + ) auf R + dar [Bauer (1992)]. Weiterhin ist N t (ω) eine monotone,
rechtsseitig stetige Abbildung von R + → N 0 . Somit kann jedem ω ∈ Ω eindeutig
ein ganzzahliges, σ-endliches Maß η(ω, .) auf B(R + ) zugeordnet werden, so dass
N t (ω) − N s (ω) = η(ω, (s, t]) gilt. Dabei gibt η(ω, B) die Anzahl der Ereignisse
an, die in dem Zeitfenster B ∈ B(R + ) auftreten. Daley & Vere-Jones (1972)
bezeichnen die messbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum in den
Raum aller ganzzahligen, σ-endlichen Maße, der mit einer geeigneten σ-Algebra
versehen wurde, als stochastischen Punktprozess.
Oft werden Punktprozesse in Form von Zeitreihen dargestellt (zum Beispiel
Schreiber & Schmitz (2000)), die nur die Werte 0 und 1 annehmen (siehe
Abb. 5.3):
X(t, ω) =
∞∑
δ(t, T k (ω)) . (5.6)
k=0
Offensichtlich kann aus jeder Beobachtung eines Punktprozesses, das heißt für
X(t)
1
0
t
T ( ω) T ( ω) T ( ω)
T ( ω)
T ( ω)
k−2 k−1 k k+1 k+2
Abbildung 5.3: Realisierung eines Punktprozesses. Die Ereigniszeiten sind mit T k
bezeichnet.
jedes ω, solch eine Darstellung gewonnen werden. Daher wird die Funktion X(t, ω)
im Folgenden Zeitreihe eines Punktprozesses genannt. Andererseits kann aus einer
Zeitreihe, die durch Gl. (5.6) gegeben ist, die Ereigniszahl N t (ω) rekonstruiert
werden:
N t (ω) = |{t ′ ≥ 0 : X(t ′ ) = 1}| . (5.7)
Dabei ist |.| die Kardinalzahl einer Menge, das heißt die Anzahl ihrer Elemente.
Beispiel: Poisson-Prozess Ein in der Literatur ([Bauer (1991),
Billingsley (1995)]) ausführlich diskutierter Punktprozess ist der sogenannte
Poisson-Prozess. Seine Entwicklung geht auf den Dänen Erlang (1878-1929)
zurück, der den Telefonverkehr untersuchte.
Ein Punktprozess N = (N t ) t≥0 heißt Poisson-Prozess, wenn
1. seine Zuwächse N t1 − N 0 = N t1 , N t2 − N t1 , . . . , N tk − N tk−1 für alle 0 < t 1 <
. . . < t k unabhängig verteilt sind,