Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

50 KAPITEL 3. SCHÄTZEN VON ENTROPIEN UND INFORMATIONEN
Gl. (2.10) bzw. Gl. (2.27) angewendet, wobei in den beiden letztgenannten Arbeiten
das gleiche Prinzip aber eine anderen Korrektur verwendet wurde. Diese
Vorgehensweise birgt aber einen zusätzlichen nachteiligen Effekt in sich, denn
die Fluktuationen zum Beispiel in g X
(k)
i
sind aufgrund endlicher
und g ,Y (l)
j ;ε X (k)
i ;ε
Daten nicht unabhängig voneinander, weshalb deren Bias nicht separat voneinander
korrigiert werden dürfen. Wie sich herausstellte, ist die Auswirkung dieses
Effektes bei der Biaskorrektur sogar noch sehr viel problematischer als der Bias
aufgrund der Fluktuationen selbst.
Da keine geeignete Korrektur zur Verfügung steht, werden die unkorrigierten
Schätzer verwendet. Zusätzlich werden in der Summe von Gl. (3.35) und Gl. (3.37)
all jene Terme Null gesetzt, bei denen weniger als n min Punkte zum Schätzen der
Dichte zur Verfügung stehen, das heißt es wird angenommen, dass die Dichten in
diesem Fall lokal faktorisieren. Hierdurch werden die lokalen Fluktuationen der
Kernschätzer reduziert, dafür tritt bei kleinen Bandbreiten ein Bias in Richtung
Null auf.
Die Anwendung der Kernschätzer soll an einem Beispiel demonstriert werden.
Hierzu wird das in Absch. 3.5, Gl. (3.29) vorgestellte System von gekoppelten
autoregressiven Prozessen verwendet, wobei diesmal der Kopplungsparameter
mit c = 0.4 fest gewählt wird. Zum Schätzen der Dichten werden Rechteckkerne
mit gleicher Bandbreite für beide Signale und alle Komponenten verwendet.
Die Zeitreihe hat eine Länge von 10 000 Punkten. Das Theilerfenster w wurde
gleich 20 gewählt. Wie sich herausstellte, erhält man die robustesten Resultate
mit n min = 4. In Abb. 3.4 sind die gegenseitigen Information ˆM ε (X i+1 , Y i ) und
ˆM ε (Y i+1 , X i ) als auch die Transferentropien ˆT ε (X i+1 |X i , Y i ) und ˆT ε (Y i+1 |Y i , X i )
über die Bandbreite ε aufgetragen.
Mit abnehmender Bandbreite erreichen alle Kurven ein Plateau nahe am
theoretischen Wert. Am unteren Ende setzen Fluktuationen aufgrund endlich
vieler Datenpunkte ein. Dies ist für die Transferentropie ˆT ε (X i+1 |X i , Y i ) stärker
ausgeprägt, was damit zusammenhängt, dass hier bereits Dichten auf dem R 3
zu schätzen sind. Der theoretische Wert von 0.0923 wird von ˆT ε (X i+1 |X i , Y i )
nicht erreicht (durchgezogene Linie). Über eine große Skalenbreite hingegen liefert
ˆT ε (Y i+1 |Y i , X i ) innerhalb statistischer Fluktuationen einen Wert von 0.
Die Verwendung von parabolischen Kernen lieferte, obwohl sie eine kleinere
Varianz als rechteckige Kerne haben [Silverman (1986)], lediglich für
ˆM ε (X i+1 , Y i ) ein geringfügig stärker ausgeprägtes Plateau. Für die anderen
Größen hingegen waren die Plateaus deutlich schlechter ausgeprägt als in
Abb. 3.4, bzw. existierten noch nicht einmal. Insbesondere ist hier die Unterdrückung
der Fluktuationen mit n min nicht so effektiv wie bei den rechteckigen
Kernen.
Bei den hier verwendeten Schätzern wurde die Bandbreite ε fest gewählt und
anschließend die Anzahl der Nachbarn gezählt, die in der durch ε festgelegten
Umgebung um x i (n) liegen. Alternativ hierzu kann auch die Anzahl der Nachbarn