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Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik 3.5! In particular the fact that g = 2 is now automatically obtained. The Pauli equation is non-relativistic, but it does predict spin. As such, it can be thought of as occupying the middle ground between the (i) familiar Schrödinger equation (on a complex scalar wavefunction), which is non-relativistic and does not predict spin and the (ii) Dirac equation (on a complex four-component spinor), which is fully relativistic (with respect to special relativity) and predicts spin. Note that because of the properties of the Pauli matrices, if the magnetic vector potential ⃗ A is equal to zero, then the equation reduces to the familiar Schrödinger equation for a particle in a purely electric potential φ, except that it operates on a two component spinor. Therefore, we can see that the spin of the particle only affects its motion in the presence of a magnetic field. 108
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik 5.8 Foldy-Wouthuysen-Transformation Foldy-Wouthuysen Transformation Zustände positiver und negativer Energie States with positive and negative energy Wir haben gesehen, daß jeder quantenmechanische Zustand eines relativistischen Teilchens nach ebenen Wellen entwickelt werden kann, wobei ebene Wellen sowohl positiver als auch negativer Energie berücksichtigt werden müssen. Für die weiteren Untersuchungen, z.B. bei der Durchführung der Foldy-Wouthuysen-Transformation ist es zweckmässig, über einen Operator Ẑ zu verfügen, der das Vorzeichen der Energieeigenwerte ebener Wellen bestimmt. So soll bezgl. der aus den Eigenspinoren gebildeten ebenen Wellen gelten We have seen that the plane-wave expansion of the wave function of relativistic particles requires plane waves with positive and negative energy. In the following we will need an operator Ẑ that determines the sign of the energy eigenvalues of waves. It shall hold Ẑψ (λ,µ) e i (⃗x·⃗p−λE(p)t) = λψ (λ,µ) e i (⃗x·⃗p−λE(p)t) (5.315) Mit Hilfe des Hamilton-Operators des freien Teilchens können wir schreiben Using the free-particle Hamiltonian we write Ẑ = Ĥf |Ĥf| = c⃗αˆ⃗p+mc 2 β √m 2 c 4 +c 2 ˆ⃗p 2 (5.316) Der Vorzeichenoperator Ẑ ist wegen Ẑ = Ẑ+ hermetisch und außerdem wegen Ẑ+ = Ẑ−1 auch unitär. Wenden wir Ẑ auf eine Eigenlösung ψ E der freien Dirac-Gleichung zur durch E = λE(p) definierten Energie an, dann erhalten wir wegen Ĥf ψ E = Eψ E Ẑ is hermitian because of Ẑ = Ẑ+ and additionally unitary, because it holds Ẑ+ = Ẑ−1 . If one applies Ẑ on an eigenstate ψ E of the free-particle Dirac equation with E = λE(p) one obtains because of Ĥf ψ E = Eψ E Ẑψ E = Ĥf |Ĥf| ψ E = E |E| ψ E = sgn Eψ E = λψ E (5.317) Mit Hilfe des Operators Ẑ können wir Projektionsoperatoren ˆP + und ˆP − konstruieren, die aus einem beliebigen Zustand alle ebenen Wellen positiver bzw. negativer Energie herausfiltern. Prinzipiell kann man jeden Bispinor ψ zerlegen in einen Anteil ψ (+) , der aus einer Überlagerung aller ebenen Wellen mit positiver Energie besteht und einen Betrag ψ (−) , der aus den Basiszuständen negativer Energie aufgebaut ist. Dann gilt natürlich Ẑψ (+) = ψ (+) und Ẑψ(−) = −ψ (−) und die gesuchten Projektionsoperatoren lauten Based on Ẑ projection operators ˆP + and ˆP − can be constructed that filter all plane waves of positive and negative energy contained in an arbitrary state. Every bispinor ψ can be divided in contribution ψ (+) that only contains plane waves of positive energy 109
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