Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
analog folgt für die Wahrscheinlichkeit das Elektron am Kern B zu finden the probability
to find the electron at core B is then analogously obtained as
|c B (t)| 2 = sin 2 ω T
2 t (1.128)
Offensichtlich gilt Obviously it holds
|c A (t)| 2 + |c B (t)| 2 = 1. (1.129)
Das Elektron oszilliert zwischen den beiden Kernen A und B mit der Tunnelfrequenz
The electron is oscillating between the cores A and B with the tunnel frequency
ω T = E a − E s
. (1.130)
Mit wachsendem Kernabstand entarten E a und E s zunehmend, und die Tunnelfrequenz
nimmt ab. Im Grenzfall R AB → ∞ gilt E a = E s ⇒ ω T = 0. The energies E a and E s increasingly
degenerate with increasing core-core distance, and, thus, the tunnel frequency
decreases. In the limit R AB → ∞ it holds E a = E s ⇒ ω T = 0.
1.4 Das Ritz’sche Variationsprinzip
The Ritz method
The Ritz method is a direct method to find an approximate solution for boundary value
problems. The method is named after Walter Ritz. ”Über eine neue Methode zur Lösung
gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik”, Journal für die Reine und
Angewandte Mathematik, 135, pages 1-61 (1909).
Betrachten das Funktional Consider the functional
¯H [ψ] = 〈ψ|Ĥ|ψ〉
〈ψ|ψ〉 , (1.131)
und suchen aus der Menge aller zulässigen Zustandsvektoren |ψ〉 den Zustand | ˜ψ 1 〉, der
dieses Funktional minimiert.and search among all allowed state vectors |ψ〉 the state | ˜ψ 1 〉
which minimizes the functional.
Benutzen Spektraldarstellung von Exploit spektral representation of Ĥ
Ĥ = ∑ n
|n〉〈n|E n , (1.132)
wobei where
Damit Thus
Ĥ|n〉 = E n |n〉 n ≥ 1. (1.133)
∑
〈ψ|n〉〈n|ψ〉E n
n ¯H[ψ] = ∑
〈ψ|n〉〈 n|ψ 〉
n }{{}
c n
Entwicklungskoeffizient
coefficient
(1.134)
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