Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Als Schwierigkeit erweist sich zunächst, daß der Dirac-See eine unendlich große Masse und
eine unendlich große Ladung besitzt. Dieses Problem ist aber nicht gravierend, da man
die unendliche Masse durch eine Verschiebung der Energieskala, die unendliche Ladung
durch eine Redefinition des Ladungsbegriffs beseitigen kann. Betrachten wir ausschließlich
freie Teilchen, dann sind die Energieeigenwerte durch ± √ m 2 c 4 + p 2 c 2 gegeben. Damit
erstreckt sich das negative Energiespektrum über den Wertebereich −∞ < E ≤ −mc 2 ,
das positive dagegen über mc 2 ≤ E < ∞ . Im Bereich −mc 2 < E < mc 2 gibt es keine
zulässigen Energiewerte.
Durch Anregung mit einer Mindestenergie von 2mc 2 kann ein Elektron aus einem Zustand
negativer Energie in den Zustand positiver Energie gehoben werden und wird damit als
reales Elektron mit einer negativen Ladung beobachtbar. Zugleich hinterläßt es ein effektiv
positiv geladenes Loch. Dieses Loch wird Positron genannt und stellt das Antiteilchen
ē zum Elektron e dar. Natürlich gibt es auch den dieser Paarerzeugung entgegengesetzten
Prozeß der Paarvernichtung. Angenommen im Dirac-See sei ein durch Impuls- und Spinquantenzahl
bestimmter Zustand nicht besetzt, also ein Loch vorhanden. Ein Elektron
der Ladung e kann dieses Loch auffüllen und damit das Vakuum wieder herstellen. Da
der Endzustand das Vakuum ist, muß das Loch eine positive Ladung + |e| gehabt haben.
Wir wollen die Eigenschaften der bei einer Paarerzeugung entstehenden Teilchen und Antiteilchen
auf einer phänomenologischen Ebene untersuchen. Dazu nehmen wir an, daß
ein Elektron negativer Energie E − mit dem Impuls ⃗p durch Absorption eines Photons
aus dem Dirac-See in einen Zustand positiver Energie E + mit dem Impuls ⃗p + angeregt
wird. Dann ist die hierfür benötigte Photonenenergie
ω =
√
m 2 c 4 + c 2 ⃗p 2 + − ( √
− m 2 c 4 + c 2 ⃗p −) 2 = E+ − E − (5.390)
Offenbar haben Elektron und Positron die gleiche Masse m. Da für das Vakuum der
Gesamtimpuls und die Gesamtenergie verschwinden, führt die Entfernung eines Elektrons
des Impulses ⃗p − zu einem Loch (Positron) des Impulses ⃗p p = −⃗p − und der Energie
E p = −E − . Deshalb kann die Paarerzeugung auch als Bildung eines Elektrons der
Energie E e = E + und des Impulses ⃗p e = ⃗p + und eines Positrons der Energie E p = −E −
und des Impulses ⃗p p = −⃗p − verstanden werden.
Eine analoge Aussage gilt für den Spin. Da die z-Komponente des Photonenspins ±1 ist,
müssen wegen der Drehimpulsbilanz Elektron und Positron entweder beide den Spin +1/2
oder −1/2 besitzen. Die Entfernung eines Elektrons negativer Energie im Spinzustand
⃗S aus dem insgesamt spinfreien Vakuum hinterlässt ein Loch vom Spin −S ⃗ . Deshalb
entspricht ein Positron mit Spin S ⃗ p einem Elektron negativer Energie mit dem Spin −S ⃗ p .
To cope with this problem, Dirac introduced the hypothesis, known as hole theory, that
the vacuum is the many-body quantum state in which all the negative-energy electron
eigenstates are occupied, see discussion in chapter 5.5.
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